Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

4.5. Полярная роза

Совершенно верно, речь пойдёт о цветке с лепестками:

Задача 118

Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах

а) , б)

Существует два подхода к построению полярной розы. Сначала пойдём по накатанной колее, считая, что полярный радиус не может быть отрицательным:

Решение: а) Найдём область определения функции:

Неравенство решим графически. Согласно геометрическим преобразованиям графиков, если аргумент функции умножить на , то её график сожмётся к оси в раз. Смотрим на нашу синусоиду и отвечаем на вопрос: на каких промежутках она
не ниже оси абсцисс?

Неравенству удовлетворяет бесконечно много отрезков, но нас интересуют только два, и область определения нашей функции: .

Возможно, некоторым читателям более лёгким покажется аналитический способ нахождения области определения, условно назову его «нарезка круглого пирога». Резать будем на равные части и, прежде всего, найдём границы первого куска. Рассуждаем
следующим образом: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от 0 до рад. включительно. В нашем примере: .

Разделив все части двойного неравенства на 2, получаем искомый промежуток:
Теперь начинаем последовательно «нарезать равные куски по 90 градусов» против часовой стрелки:

– найденный отрезок , понятно, входит в область определения;
– следующий интервал – не входит;
– следующий отрезок – входит;
– и, наконец, интервал – не входит.

Прямо, как по ромашке – «любит, не любит, любит, не любит» =) С тем отличием, что тут не гадание. …Да, прямо какая-то любовь по-китайски получается….

Итак, и линия представляет собой розу с двумя одинаковыми лепестками. Чертёж вполне допустимо выполнить схематически, однако крайне желательно правильно найти и отметить вершины лепестков. Им соответствуют середины отрезков области определения, которые в данном примере имеют очевидные угловые координаты . При этом длины лепестков составляют:

И слева вы видите закономерный результат заботливого садовника.

Следует отметить, что длину лепестка легко сразу усмотреть из уравнения – так как синус ограничен: , то максимальное значение «эр» заведомо не превзойдёт двух.

б) Построим линию, заданную уравнением . Очевидно, что длина лепестка этой розы тоже равна двум, но, прежде всего, нас интересует область определения. Применим аналитический метод «нарезки»: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от нуля до «пи» включительно, в данном случае: . Делим все части неравенства на 3 и получаем первый промежуток: . Теперь начинаем «нарезку пирога равными кусками» по рад. (60 градусов):

– отрезок войдёт в область определения;
– интервал – не войдёт;
– отрезок – войдёт;
– интервал – не войдёт;
– отрезок – войдёт;
– интервал – нет, процесс успешно завершён на отметке 360 градусов.

Таким образом, область определения: .

Построение. Если в предыдущем пункте всё благополучно обошлось прямыми углами и углами в 45 градусов, то здесь придётся немного повозиться. Найдём вершины лепестков. Их длина была видна с самого начала задания, осталось вычислить угловые координаты, которые равны серединам отрезков области определения:
а

Обратите внимание, что между вершинами лепестков должны обязательно получиться равные промежутки, в данном случае 120 градусов.

Чертёж желательно разметить на 60-градусные секторы (отграничены зелёными линиями) и провести направления вершин лепестков (серые линии). Сами вершины удобно наметить с помощью циркуля – единожды отмерить по линейке расстояние в 2 единицы и нанести три засечки на прочерченных направлениях в 30, 150 и 270 градусов.

Понимаю, что занятие хлопотное, но если хотите всё оформить по уму, то придётся потратить время.

Сформулируем общую формулу: уравнение вида , – натуральное), задаёт полярную -лепестковую розу, длина лепестка которой равна .

Например, уравнение задаёт четырёхлистник с лепестком в 5 единиц, уравнение – 5-лепестковую розу с длиной лепестка в 3 ед. и т.д.

О втором подходе я хотел вообще умолчать, однако не могу пройти мимо – уж слишком он распространён. Суть состоит в том, что полярная роза часто рассматривается в обобщённых полярных координатах, где полярный радиус может быть отрицательным. Вопрос области определения отпадает, но появляются другие приколы.

Во-первых, разберёмся, как строить точки с отрицательным значением «эр». Если , то нужно мысленно найти точку с таким же углом, но радиуса и отобразить её симметрично относительно полюса. Вернёмся к первой полярной розе и рассмотрим интервал , на котором полярный радиус отрицателен (рисунок слева). Как, например, изобразить точку ? Мысленно находим точку (левый верхний сектор) и отображаем её симметрично относительно полюса в точку . Таким образом, когда угол принимает значения из интервала , то прорисовывается ещё один лепесток в правом нижнем секторе (тот же рисунок слева).

И, соответственно, когда угол проходит значения , то прорисовывается
лепесток в противоположном (левом верхнем) секторе (рисунок справа).

Интересно отметить, что при таком подходе роза с нечётным количеством лепестков, в частности, роза сохраняет своё количество лепестков. А происходит это по одной простой причине: когда угол проходит пустующие секторы (посмотрите на нижний чертёж предыдущей страницы!), то полярный радиус принимает отрицательные значения, и из этих пустых секторов точки отображаются напротив – ровнёхонько накладываясь на «легальные» лепестки.

Сформулируем правило розы для обобщенной системы координат: уравнение вида , – натуральное) задаёт полярную розу с длиной лепестка , при этом:
1) если - чётное, то роза имеет ровно лепестков;
2) если - нечётное, то роза имеет ровно лепестков.

Например, роза имеет 8 лепестков, роза – пять лепестков, роза – 12 лепестков, роза – 7 лепестков и т.д.

А почему закономерность столь необычна, я только что проиллюстрировал выше.

Какую систему выбрать, «классическую» или обобщённую? Зависит от вашего учебного плана. «По умолчанию» я бы особо не рекомендовал использовать обобщенные полярные координаты, ибо, зачем вам лишние вопросы со стороны преподавателя?

Похожая задача для самостоятельного решения:

Задача 119

Построить линии, заданные уравнением в полярных координатах
а) , б)

Сформулировать общее правило о количестве и длине лепестков полярной розы вида , – натуральное)

В образце приведено решение в «классической» полярной системе.

Повторим схему решения:

– Сначала находим область определения. При этом для лучшего понимания своих действий постарайтесь соотнести аналитический способ «нарезки» с графической интерпретацией. По материалам статьи геометрические преобразования графиков выясните, как выглядят, и при необходимости начертите графики функций .

– Находим угловые координаты вершин лепестков – они расположены ровно посередине промежутков области определения.

– Выполняем чертёж. Пойдёт схематическая версия, однако желательно разметить найденные секторы и угловые направления вершин лепестков (в случае необходимости – с помощью транспортира). Вершины удобно засекать циркулем, предварительно установив раствор, равный длине лепестка.

Существуют более солидные и общие формулы окружности, полярной розы и желающие могут с ними ознакомиться в других источниках информации. Я лишь ограничился практически значимыми (с моей точки зрения) примерами.

И сейчас мы систематизируем алгоритм построения линий в полярной системе координат, и что немаловажно, значительно ускорим решение:

4.6. Как построить линию в полярных координатах?

4.4. Уравнение линии в полярных координатах

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин