Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

3.8.2. Приведение уравнения нецентральной линии

И сейчас мы, по сути, разберём частный случай универсального метода решения, который вкратце состоит в следующем:

На первом шаге выясняется угол поворота системы – угол ТАКОЙ, чтобы в новой прямоугольной системе координат исходное уравнение исследуемой линии приняло вид:

На втором шаге выделяются полные квадраты (при необходимости) и проводится параллельный перенос системы началом в точку – такую, чтобы в итоговой системе координат получилось уравнение , от которого до канонической формы рукой подать.

Должен отметить неудачные обозначения со штрихами, но так принято практически во всех учебниках, и поэтому я не буду отклоняться от стандарта. Штрихи, как вы поняли, к производным никакого отношения не имеют. В предыдущем параграфе, к слову, я намеренно использовал обозначения вместо и чтобы не привить «чайникам» отвращение к теме.

Таким образом, универсальный способ приведения к линии 2-го порядка к каноническому виду предполагает два последовательных преобразования прямоугольной системы координат – поворот и параллельный перенос:

Как, наверное, вы уже догадались и горестно вздохнули, удобный метод инвариантов позволял получить то же самое «одним махом»:

Но в параболическом случае мы вынуждены выехать с тихой просёлочной дороги метода инвариантов на оживлённую автостраду общего способа решения:

Задача 113

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Выполнить чертёж.

Решение: в первую очередь выясним тип линии. Вычислим определитель, составленный из коэффициентов :
, значит, у нас нецентральная линия и это может быть или парабола, или пара параллельных прямых (действительных либо мнимых), или пара совпавших прямых.

1) Осуществим поворот исходной системы координат ТАК – чтобы в новой системе получить уравнение вида (без слагаемого, «отвечающего» за поворот).
Искомый угол поворота найдём по формуле:
или

Внимание! Данная формула справедлива только для параболического случая!

В нашем примере: .

Очевидно, что , но здесь не всё так просто. Наверняка многие обратили внимание на тот факт, что если линию 2-го порядка (например, гиперболу) повернуть на 180 градусов, то она совпадёт сама с собой. Исключение составляет капризная парабола, ветви которой развернутся в противоположную сторону. А парабола у нас вполне может нарисоваться, поэтому, необходимо взять на заметку ещё один угол: , или, что то же самое: .

Продолжаем:

Если осуществляется поворот прямоугольной системы координат на произвольный угол и переход к новой системе координат , то формулы перехода от старых координат к новым координатам выражается следующей системой:
, где «альфа» – угол данного поворота.
Из тригонометрических формул нетрудно выразить синус и косинус через известный нам тангенс, однако выражения получатся не однозначными:

И сложившейся ситуации вполне прагматичным решением будет привлечь на помощь метод научного практического тыка. Не теряя времени, начинаем работать с углом и используем формулы . В результате дальнейших действий может получиться неканоническое уравнение (а это возможно в единственном случае – когда исследуемое уравнение задаёт параболу и она оказывается развёрнутой в другую сторону). Тогда следует рассмотреть противоположный угол поворота системы координат, при этом значение тангенса угла останется тем же самым: , но формулы сменят знаки: .

Итак, для угла выбираем первый комплект формул и находим:

Подставим найденные значения в аналитические выражения поворота :

Подставляем и (не пугаемся) в исходное уравнение :

Теперь нужно возвести в квадраты, раскрыть все скобки,… но что-то не хочется. Для нецентральной линии существует эксклюзивная «фишка»: в результате рассматриваемой подстановки сумма упрощается до , где – старый знакомый инвариант. Таким образом, громоздкая сумма первых трёх слагаемых превращается в :

Внимательно раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые. И НЕ ТЕРЯЕМ ШТРИХИ:

И по всем признакам получается как раз парабола. Сократим каждое слагаемое на 2 и перебросим некоторые из них в правую часть:

Перед слагаемым, содержащим «икс штрих», нарисовался знак минус, и это плохо. Для лучшего понимания проиллюстрирую выполненное действие готовым чертежом:
В результате поворота исходной системы координат вокруг точки на 45 градусов, мы перешли от уравнения к уравнению в новой системе координат . Но загвоздка состоит в том, что ветви параболы направлены «в противоход» оси (наклоните головы влево на 45 градусов), о чём нам и сообщил знак «минус» при переменной нового уравнения.

С углом не повезло…, что делать?

Если вы уже оформили решение на чистовик (что очень вероятно), то поступаем хитро. Невозмутимо выделяем в полученном уравнении полный квадрат и представляем его в виде :

Теперь осуществляем поворот системы ещё на радиан (180 градусов) против часовой стрелки:
При таком «довороте» меняется знак у «иксовой» части уравнения, а также знаки внутри скобок:

Проведём физкульт-разминку и заодно спасём от онемения некоторые части тела :) Пожалуйста, встаньте лицом к монитору и наклонитесь вправо на 90 градусов. Теперь поверните голову ещё на 45 градусов в том же направлении и полюбуйтесь почти канонической параболой.

Если же решение ещё не оформлено на чистовик, то можно сразу выбрать угол , тангенс которого тоже равен единице: , и подставить это значение во второй комплект формул:
, после чего «проворачиваем» тот же алгоритм и получаем уравнение .

2) Шаг второй, параллельный перенос системы . Полный квадрат у нас уже выделен: и из этого уравнения следует, что в новой системе вершина параболы имеет координаты (смотрим на чертёж под углом ):
Осуществим параллельный перенос системы в точку , то есть перейдём к новой системе координат .

Аналитически это действие выражается заменами , в результате которых получается долгожданное каноническое уравнение:

Вновь наклонитесь вправо на и в «позе страуса» хорошенько осмыслите выполненные действия :)

Ответ: данная линия представляет собой параболу – в системе координат , которая получена поворотом системы вокруг своего начала на угол и её параллельным переносом в точку .

Интересно отметить, что для параболы метод инвариантов, хоть и не работает, но тоже позволяет найти её каноническое уравнение. Во-первых, полезно иметь в виду следующий характеристический признак: уравнение линии 2-го порядка, инварианты которого удовлетворяют условиям , задаёт параболу и только её.

Представьте, что вы видите уравнение в первый раз. Да… с оттенком черного юмора получилась фраза =) Выпишем коэффициенты и вычислим инварианты:

, следовательно, данное уравнение определяет именно параболу, а не какую-то другую линию.

И, во-вторых, найденные инварианты позволяют найти фокальный параметр параболы по формуле:

Таким образом:

Желающие могут использовать данный путь для самопроверки или даже в качестве основного решения в критической ситуации – когда не получается найти уравнение параболы стандартным способом, но жизненно важно «родить» хоть что-то.

Следующий пример для самостоятельной разработки:

Задача 114

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду
, выполнить чертёж, на котором отразить все преобразования системы координат.

Примерный образец чистового оформления задачи в конце книги.

Следует отметить, что на практике достаточно популярна урезанная версия задачи. Случай, когда нужно выполнять только параллельный перенос, досконально изучен в предыдущих параграфах, но бывает и так, что необходимо осуществить только поворот системы координат. Так, например, в уравнении отсутствуют слагаемые, «отвечающие» за параллельный перенос. Угол поворота системы координат находится элементарно: , и, более того, с помощью магической плюшки легко узнать итоговое уравнение:

– две параллельные прямые в системе , которая получена поворотом системы на угол .

Также полезно знать, что вырожденное уравнение параболического типа несложно выразить в явном виде и в исходной системе координат, поскольку проходят тривиальные алгебраические преобразования. Так, для того же уравнения :

Полученный результат удобно использовать для проверки и выполнения чертежа.

Что касается инвариантов, то дела тут обстоят хуже. Если для параболы мы ещё смогли «вытянуть» некоторую информацию из инвариантов, то здесь будем созерцать малополезный набор .

Итак, систематизируем порядок действий в параболическом случае:

1) Из формулы либо находим угол поворота исходной системы координат :

2) Для данного угла «альфа» рассчитываем . При этом проводим максимальные упрощения: выносим из-под корней всё, что можно вынести, и избавляемся от многоэтажных дробей, если таковые образовались.

3) Подставляем найденные значения в формулы поворота .

4) Подставляем найденные выражения в исходное уравнение , внимательно раскрываем все скобки и приводим подобные слагаемые, в результате чего в новой системе координат должно получиться уравнение вида , где .

4*) Примерно в 15% случаев может получиться уравнение, которое определяет параболу, развёрнутую относительно своего канонического положения (положительного направления оси ) на 180 градусов. Тогда следует использовать хитрый план или вернуться к Пункту 2 алгоритма: рассмотреть противоположный угол поворота и использовать формулы , не забывая, что само значение тангенса осталось таким же: .

5) В полученном уравнении выделяем полный квадрат (если необходимо), в результате чего должно получиться уравнение вида , где – некоторые константы. И, наконец, после параллельного переноса системы координат началом в точку (замен и перехода к окончательной системе координат ) наша цель достигнута: – «допиливаем» уравнение до канонического вида.

6) Чертёж. Если совсем тяжко, пойдёт схематический, но проявите аккуратность.
И в заключение главы коротко об общем алгоритме решения, который годится для всех случаев, и из которого, собственно, следуют все рассмотренные выше схемы:

3.8.3. Универсальный метод приведения

3.8.1. Приведение уравнения центральной линии. Метод инвариантов

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин