3.8.3. Универсальный метод приведения

1) По уравнению составляем характеристическое уравнение , где , – старые знакомые инварианты.

2) Решаем квадратное уравнение и находим его корни . При любых раскладах это будут действительные корни.

3) Данные корни определяют два угла поворота системы координат , вычисляем их тангенсы:
Теперь нам нужно выбрать нужный угол (тот, который приведёт к каноническому виду). Выбор осуществляем на черновике, методом «практического тыка». Опытные читатели могут провести анализ в уме или даже сразу «увидеть» желаемый вариант.

4) Начинаем с 1-го угла. Берём значение и рассчитываем косинус и синус этого угла: . Найденные значения подставляем в формулы поворота: .

5) Подставляем и в исходное уравнение и проводим упрощения. Если всё сделано правильно, то должно получиться уравнение вида:
в системе

Но это может оказаться неканоническое уравнение, и тогда Пункты 4, 5 следует проделать для второго угла. Кроме того, в случае с параболой есть ещё одна «заморочка» с углами, которую я подробно осветил в Задаче 113.

6) В уравнении выделяем полные квадраты:
и с помощью замен (параллельного переноса системы в точку ) переходим к уравнению:
в системе

7) Доводим уравнение до ума – чтобы получилось одно из этих уравнений.

Основная трудность общего способа состоит в его длительности и трудоёмкости, но любители сложностей могут «потягать» им Задачи 111, 112.

Ну а некоторые оказываются любителями поневоле – на первом курсе Физмата мне «повезло» с билетом по аналитической геометрии и я где-то 3 часа мучился с поворотом линии 2-го порядка, решая задачу в общем виде. Поэтому сейчас было бы просто кощунственно скрыть от вас эти знания!

4.1. Полярная система координат

3.8.2. Приведение уравнения нецентральной линии

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин