Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

3.8.1. Приведение уравнения центральной линии.
Метод инвариантов

Во-первых, термин. Инвариант – это величина, которая остаётся неизменной при тех или иных преобразованиях.

Простейший пример геометрического инварианта – это длина отрезка относительно его параллельного переноса. В результате данного преобразовании меняются координаты концов отрезка, но его длина остаётся неизменной (инвариантной).

В частности, длина, ширина и толщина учебника Фихтенгольца (который можно положить на стол, на стул, на кровать, под кровать, в мусорное ведро) – это инварианты относительно перемещения книги в пространстве. А вот если ненавистный томик порвать в клочья, то его размеры уже перестанут быть инвариантами относительно этих механических повреждений. Но инвариантом останется сам математический анализ. Так что рви, не рви, а осваивать его придётся :)

Однако вернёмся к нашему демонстрационному уравнению:

Очевидно, что можно выбрать бесконечно много других прямоугольных систем координат и получить бесконечно много различных уравнений вида , которые задают один и тот же эллипс.

И возникает вопрос: а есть ли у этого множества уравнений что-то одинаковое, характерное только для данной линии? Иными словами, есть ли инварианты?

Да, есть!

Если линия второго порядка задана – общим уравнением в некоторой прямоугольной системе координат, то инвариантами относительно поворота и параллельного переноса прямоугольной системы координат являются следующие ЧИСЛА:

– сумма коэффициентов при ,
старый знакомец
и ещё один определитель: .

Рассмотрим исходное уравнение и поставим задачу подобрать новую прямоугольную систему координат ТАК, чтобы уравнение данной линии приняло в ней вид (который элементарно сводится к канонической форме). Заметим попутно логичную вещь – коэффициенты итогового уравнения, «отвечающие» за поворот и параллельный перенос равны нулю:

Поскольку инварианты (числа) НЕ ЗАВИСЯТ от коэффициентов того или иного уравнения, то справедливыми являются следующие равенства:

откуда следует простой и изящный алгоритм решения нашей задачи:

1) Из исходного уравнения находим числа .

2) Решаем систему и записываем уравнение , которое легко приводится к каноническому виду. При этом угол поворота новой системы координат относительно старой системы находится из уравнения . Если , то угол равен либо , либо и это недостаток формулы. Но это не беда. Потому что есть другая формула: . Координаты нового начала координат отыскиваются как решение системы .

Таким образом, решение нашей задачи укладывается в стройную и понятную схему, доступную даже школьнику. Выясним же, наконец, как из потрёпанного уравнения получается канонический эллипс :

Задача 111

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду

Найти начало соответствующей системы координат и угол её поворота

Решение: перейдём к новой прямоугольной системе координат , в которой уравнение данной линии примет вид .

На первом шаге из исходного уравнения находим коэффициенты . В тетради это удобно сделать следующим образом:

Здесь важно не потерять «минусы», а также не забыть разделить пополам нужные числа. Кроме того, некоторые слагаемые могут отсутствовать, и тогда соответствующие коэффициенты будут равны нулю – не спешим и не путаемся! В нашем случае всё на месте и, соответственно, все коэффициенты ненулевые:

Вычислим инварианты:

Последний определитель выгодно раскрыть с помощью элементарного преобразования, прибавив к третьей строке первую строку:

Инварианты найдены, составим и решим систему:

Из последних двух уравнений сразу просматривается значение коэффициента :
поскольку , то, подставляя это произведение в 3-е уравнение, получаем:

Но тут важнее разобраться с другими коэффициентами. Есть длинный путь, и есть короткий.

Путь длинный: из 1-го уравнения выражаем – подставляем во второе уравнение:

Решим квадратное уравнение:

В результате получается два комплекта симметричных корней:

Путь короткий, к которому я рекомендую «пристреляться», в том числе, и «чайникам». Это подбор корней. Смотрим на первые два уравнения системы: . Прикидку можно делать либо по первому уравнению, либо по второму, кому как удобнее. Лично я привык ориентироваться по сумме коэффициентов. Правдоподобных вариантов здесь не так и много:
0 и 50
10 и 40 – удовлетворяет и первому и второму уравнению
20 и 30
30 и 20
40 и 10 – симметричная пара корней
50 и 0

Как видите, на подходящую пару чисел мы «натыкаемся» практически сразу. В силу симметричности уравнений решением будут являться и «зеркальные» значения 40 и 10.

Таким образом, в нашем распоряжении оказывается два набора корней:

Не забываем выполнить проверку, подставив значения первого (можно второго) комплекта в левую часть каждого уравнения системы:

В результате получены соответствующие правые части исходных уравнений, что и требовалось проверить.

Теперь мысленно либо на черновике следует выяснить, какое решение приведёт нас к желаемому результату.

Подставляем первый комплект корней в уравнение :

Техника завершающих преобразований хорошо знакома:

– эллипс с центром в точке , большой полуосью , малой полуосью .

Такой фразы будет достаточно – нас никто не спрашивал про фокусы, эксцентриситет и другие характеристики линии.

Всё вышло удачно с первой попытки. Если в уравнение подставить второй набор корней , то получится неканоническая запись того же эллипса – повёрнутого на 90 градусов.

Найдём угол поворота новой системы координат относительно старой:

Или по второй, более лёгкой, но почему-то менее распространённой формуле:

Координаты начала новой системы координат найдём как решение системы:

Первое уравнение умножим на 9, второе уравнение умножим на 13 и из 2-го уравнения почленно вычтем 1-е (проще способа не видно):
, таким образом: .

В том случае если по условию необходимо выполнить чертёж – выполняем чертёж, приведённый выше. Впрочем, мне нетрудно скопировать:
Ввиду сложности чертежа вполне допустимо его схематичное оформление, однако всё-таки постарайтесь, чтобы рисунок был похож на правду. Как вариант, можно изобразить только новую систему координат и эллипс в горизонтальном положении, но тогда прокомментируйте, что она получена поворотом системы на угол и её параллельным переносом в точку .

Ответ: – эллипс с полуосями – в системе координат с началом в точке , повёрнутой относительно исходной системы координат на угол .

Это мы рассмотрели так называемый эллиптический случай, когда коэффициенты – отличны от нуля и одного знака (оба положительны либо оба отрицательны), т.е. когда их произведение .

И в этом случае может получиться не только эллипс. Если все три коэффициента одного знака, то это мнимый эллипс. Так, если бы в рассмотренной задаче мы получили уравнение , то пришли бы к уравнению . Причём, весь алгоритм и порядок оформления остались бы прежними + приятный бонус – отсутствие чертежа, поскольку мнимый эллипс остаётся разве что мнить =)

Ещё одна разновидность эллиптического случая – нулевой свободный член: , предвестником которого является нулевой третий инвариант: . В частности, уравнение сводится к виду – и это пара мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой их пересечения (с нулевыми координатами в новой системе координат ).