2.4. Параметрические уравнениЯ прямой

Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой:

В чём смысл? Параметр принимает все значения от «минус» до «плюс» бесконечности и каждому значению параметра соответствует конкретная точка прямой

Задача 71

Составить параметрические уравнения прямой по точке и направляющему вектору .

Решение закончилось, не успев начаться:

Как найти точки прямой? Возьмём какое-нибудь значение параметра, например, . Тогда соответствующая точка:

Обратная задача: как проверить, будет ли точка принадлежать данной прямой? Подставим её координаты параметрические уравнения:

Из обоих уравнений следует, что , значит, система совместна (имеет решение) и точка действительно принадлежит данной прямой.

Рассмотрим более содержательные примеры:

Задача 72

Составить параметрические уравнения прямой

Решение: по условию прямая задана в общем виде. Для того чтобы составить параметрические уравнения прямой, нужно знать её направляющий вектор и какую-нибудь точку. Найдём направляющий вектор: