Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

1.8.2. Как определить коллинеарность векторов плоскости?

Ортогональность векторов мы проверяли с помощью скалярного произведения, и вот теперь коллинеарность.

Для того чтобы два вектора плоскости были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны: , где – константа.

По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения .

Задача 37

а) Проверить, коллинеарны ли векторы .
б) Образуют ли базис векторы ?

Решение:

а) Выясним, существует ли для векторов коэффициент пропорциональности , такой, чтобы выполнялись равенства :
– из обоих уравнений следует, что , значит, данные векторы коллинеарны.

И обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне работает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной:

сокращаем обе части:
– в результате получено верное равенство, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно, .

Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант:
– верное равенство.

Для проверки можно использовать тот факт, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют место равенства , и их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами:

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему:

Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения следует, что , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.

Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис.

Упрощённая версия решения выглядит так:

Составим пропорцию из соответствующих координат векторов :
, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.

Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но он не применим в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю: . Или так: . Или так: . Как тут действовать через пропорцию? (на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским».

Ответ: а) , б) образуют.

Небольшое творческое задание для самостоятельного решения:

Задача 38

При каком значении параметра векторы будут коллинеарны?

В образце решения параметр найден через пропорцию .

Но это ещё не всё. Помимо рассмотренных, существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность, систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим этот способ:

Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения:

1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
– далее нам потребуются некоторые алгебраические навыки, и по ходу изложения
я буду проставлять гиперссылки на соответствующие статьи mathprofi.ru.

и, соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения:
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.

! Проконтролируйте , всё ли вам понятно в терминах и утверждениях?

Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вы уже эльфы 4-го уровня :)

Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости , коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .

Решим Задачу 37 вторым способом:

а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны.

б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны. Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис.

Ответ: а) , б) образуют.

Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями.

С помощью рассмотренных методов можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Разберём пару задач с конкретными геометрическими фигурами:

Задача 39

Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является параллелограммом.

Перед доказательством вспомним, что это за геометрическая фигура: параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны (см. Приложение Школьные Материалы).Таким образом, нужно доказать:

1) параллельность противоположных сторон и ;

2) параллельность противоположных сторон и .

Доказываем:

1) Найдём векторы:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, откуда следует параллельность соответствующих сторон: .

2) Найдём векторы:

Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы), но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны, и .

Вывод: противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению, что и требовалось доказать.

Обратите внимание, что чертёж здесь не нужен – решение чисто аналитическое.

Больше фигур хороших и разных:

Задача 40

Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является трапецией.

Это задание для самостоятельного решения.

А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство:

1.8.3. Как определить коллинеарность векторов пространства?

1.8.1. Базис и система координат на плоскости

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин