5.5.6. Как найти прямую, перпендикулярную данной?

Обращаю внимание, что для скрещивающихся прямых таких прямых можно провести бесконечно много, а вот для пересекающихся – задача имеет единственное решение:

Задача 157

а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой (прямые пересекаются).

б) Найти расстояние от точки до прямой , в) симметричную точку .

а) Решение: обозначим неизвестную прямую через :

И начинаем раскручивать задачу: что нам известно об этой прямой?

Известна её точка . Неплохо бы найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор . Но мы не знаем точку . Вот ей-то и займёмся

План есть, и мы счастливы:

1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор , а сами уравнения перепишем в параметрической форме:

И вот уже в третий раз используем тот же самый фокус. Рассмотрим точку с пока ещё неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра :
, или в строчку:

Тогда:

2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю: