Ваш репетитор, справочник и друг!

Аналитическая геометрия для «чайников»

5.3.4. Взаимное расположение двух плоскостей

С параллельными плоскостями мы только что столкнулись и сейчас разовьём тему. Рассмотрим две плоскости пространства, заданные общими уравнениями:

Они могут:

1) совпадать;

2) быть параллельными: ;

3) пересекаться по некоторой прямой «эль»: .

По пунктам:

1) Совпадающие плоскости

Две плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

Рассмотрим плоскости и составим систему:

Из каждого уравнения системы следует, что . Таким образом, система совместна и плоскости совпадают.

2) Параллельные плоскости

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но

На практике первые три коэффициента часто банально попарно совпадают :
(Задача 139), но могут и не совпадать, как, например, в следующей Задаче 140:

Убедимся, что эти прямые действительно параллельны. Составим пропорцию из соответствующих коэффициентов , но , что и требовалось проверить. Теперь способ академический, составим соответствующую систему:

Из первых трёх уравнений следует, что , а из четвёртого уравнения следует, что , значит, система несовместна, но коэффициенты при переменных пропорциональны, следовательно, плоскости параллельны.

3) Пересекающиеся плоскости

И третий, самый распространённый случай, когда две плоскости пересекаются по некоторой прямой :
Две плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

Попутно заметим важный факт: если плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаёт уравнение прямой в пространстве.

Но о пространственной прямой позже.

В качестве примера рассмотрим плоскости . Составим систему для соответствующих коэффициентов:

Из первых двух уравнений следует, что , но из третьего уравнения следует, что , значит, система несовместна и плоскости пересекаются.
Проверку можно выполнить и «по пижонски», одной строкой: .
И из этого случая логично вытекает следующий параграф:

5.3.5. Как найти угол между плоскостями?

5.3.3. Как найти расстояние между плоскостями?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин