Ваш репетитор, справочник и друг!

Практикум по теории вероятностей

Научись решать в считанные дни!

1.2.3. Сложение и умножение событий

Пожалуйста, запомните ВАЖНЕЙШЕЕ ПРАВИЛО, без которого освоить тервер просто нереально:

Сложение событий обозначает логическую связку ИЛИ,
а умножения событий – логическую связку И.

Разбираемся:

1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие , или событие , или оба события одновременно. В том случае, если событияy несовместны, последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие .

Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий , а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: или событие , или событие , или событие , или событие , или .

Примеров масса:

Событие (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Все примеры ОСМЫСЛЕННО проговариваем ВСЛУХ!
Это важно.

Событие состоит в том, что выпадет не более двух очков (1 или 2 очка).

Событие состоит в том, что выпадет 2, или 4, или 6 очков (чётное число очков).

Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или бубна), а событие – в том, что будет извлечена «картинка» (валет или дама или король или туз).

Чуть занятнее дело с событиями совместными:

Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка или семёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).

Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий, а именно:

– будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.

То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов, которые, к слову, несовместны – по той причине, что любая «погодная комбинация» исключает появление других.

Второй столп алгебры событий:

2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие , и событие , и событие , …, и событие .

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты (не имеет значения, одновременно или нет) и следующие события:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й орёл;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете выпадет орёл.

Осмысливаем и проговариваем вслух!!

Очевидно, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу (поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет).

Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И, а сложение – ИЛИ. Таким образом, эту сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки, или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка, или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл ».

Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания, когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:

– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.

Тогда событие состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков.

…понимаю, что разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько стрелков, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)

1.2.4. Вероятность события

1.2.2. Совместные и несовместные события. Полная группа событий

| Оглавление |

Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти после Оглавления.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин