1.2.7. Логическое следствие

Логическое следствие обозначают* значком и тоже читают «следовательно», «из этого следует это». Но это не то же самое, что импликация.

* Импликацию тоже зачастую обозначают так, что вызывает путаницу

В чём отличие? Когда мы решаем задачу и пишем, что («из а следует бэ»), то полагаем высказывание заведомо истинным и более того, выводим из него другую истину . В математической логике это и называется логическим следствием. Обычно следствие подлежит обоснованию, и поэтому при оформлении работ всегда старайтесь пояснять, какие аксиомы, теоремы, решённые задачи и т. д. вы использовали для того или иного вывода.

Теорема по своей сути тоже представляет собой логическое следствие: её условие опирается на истинные посылки (аксиомы, уже доказанные теоремы). Доказательство же устанавливает истинность следствия , причём в этом процессе не могут использоваться ложные рассуждения.

Недоказанное предположение называют гипотезой, и варианта тут два: либо она выводит из истины истину и представляет собой теорему, либо гипотеза оказывается неверной, т. е. из множества истинных посылок следует «не бэ», и это истина: . В случае опровержения получается тривиальный вывод «это неверно», но и то, бывает, дорогого стОит.

Рассмотрим в качестве примера, конечно, не мегатеорему, но утверждение, которое требует пусть простого, но обоснования. Хотя и его не будет:) Итак, есть высказывания:
– число делится на 4,
– число делится на 2.

Очевидно, что следствие истинно, то есть из того, что число делится на 4, следует и его делимость на 2. И, соответственно, противоположное заключение – есть ложь:

При этом ещё раз обращаю внимание, что посылка изначально постулируется как истина (в отличие от импликации, где она может быть и ложной). Для логических следствий имеют место такие же понятия необходимости и достаточности:
истинность посылки – это достаточное условие для истинности заключения ,
истинность заключения – это необходимое условие для истинности посылки .

В нашем примере:

Делимость числа на 4 является достаточным условием для того, чтобы оно делилось на 2. И с другой стороны, делимость числа на 2 является необходимым условием делимости на 4 (но не достаточным! – так, например, число 6 прекрасно делится на 2, но не делится на 4).

Следует отметить, что рассмотренный пример можно записать и в виде импликации: (пользуясь таблицей, проанализируйте все расклады самостоятельно)

Однако в общем случае «перенос понятий» некорректен! То есть, если мы ведём разговор о том, что , то это ещё не значит, что будет справедлива импликация . И такой пример будет позже.

1.2.8. Эквиваленция. Необходимое и достаточное условие

1.2.6. Импликация. Необходимое условие. Достаточное условие

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин