Высшая алгебра.
Практический и немного теоретический курс для начинающих
Настоящая книга познакомит вас с логическими основами математики и азами высшей алгебры. В результате Вы быстро научитесь решать типовые практические задачи, а то и вовсе заинтересуетесь теорией.
Курс предназначен, прежде всего, для студентов-заочников, но будет полезен и другим учащимся, а также, скоромно предположу, и некоторым специалистам.
Старайтесь не пропускать темы (с посещаемостью у меня строго) и по возможности выполняйте ВСЕ предложенные задания. Итак, устраивайтесь поудобнее, начинаем.
Материалы первой главы посвящены не только математике, но и основам здравой жизненной логики; вольно цитируя М. В. Ломоносова, они «ум в порядок приводят»:
1. Врата алгебры
1.1. Множества
1.1.1. Подмножества
1.1.2. Числовые множества
1.1.3. Мощность множества
1.1.4. Операции (действия) с множествами
1.1.5. Отображение множеств
1.1.6. Обратное отображение
1.1.7. Композиция отображений
1.2. Основы математической логики
1.2.1. Высказывания и высказывательные формы
1.2.2.Логические операции (действия над высказываниями)
1.2.3. Отрицание высказывания
1.2.4. Конъюнкция (логическое умножение высказываний)
1.2.5. Дизъюнкция (логическое сложение высказываний)
1.2.6. Импликация. Необходимое условие. Достаточное условие
1.2.7. Логическое следствие
1.2.8. Эквиваленция. Необходимое и достаточное условие
1.3. Понятие алгебраической структуры. Примеры
2. Комплексные числа – понятие
2.1. Арифметические действия с комплексными числами
2.1.1. Сложение комплексных чисел
2.1.2. Умножение комплексных чисел
2.1.3. Деление комплексных чисел
2.1.4. Тригонометрическая форма комплексного числа
2.1.5. Показательная форма комплексного числа
2.1.6. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра
2.1.7. Извлечение корней из комплексных чисел
2.2. Выражения с комплексными числами
2.3. Уравнения с комплексными числами
3. Многочлены – понятие
3.1. Сложение и умножение многочленов
3.2. Кольцо многочленов
3.3. Деление многочленов
3.4. Корни многочлена
3.4.1. Как найти рациональные корни многочлена?
3.4.2. Схема Горнера
3.4.3. Как определить корни графически?
4. Матрицы и определители
4.1. Матрица и её виды
4.2. Равные матрицы
4.3. Простейшие действия с матрицами
4.3.1. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу)
4.3.2. Умножение матрицы на число
4.3.3. Транспонирование матрицы
4.3.4. Сумма (разность) матриц
4.4. Умножение матриц
4.5. Определитель матрицы
4.5.1. Как вычислить определитель?
4.5.2. Правило треугольников
4.5.3. Формула Саррюса
4.5.4. Раскрытие определителя по строке или по столбцу
4.6. Миноры и алгебраические дополнения
4.7. Обратная матрица
4.8. И снова о матричном умножении
4.8.1. Как возвести матрицу в квадрат?
4.8.2. Коммутативность числового множителя
4.8.3. Как перемножить три матрицы?
4.8.4. Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?
4.9. Матричные выражения
4.10. Матрицы с точки зрения алгебраической структуры
4.11. Некоторые полезные свойства определителей
4.11.1. Золотое правило вычислений
4.11.2. Определитель транспонированной матрицы
4.11.3. Парная перестановка строк (столбцов)
4.11.4. Вынесение из строки (столбца) множителя
4.11.5. Когда определитель равен нулю?
4.12. Понижение порядка определителя
4.13. Матричные уравнения
4.14. Ранг матрицы
4.14.1. Что такое ранг матрицы?
4.14.2. Миноры прямоугольной матрицы (общее определение)
4.14.3. Как найти ранг матрицы с помощью миноров?
4.14.4. Метод окаймляющих миноров
4.14.5. Элементарные преобразования матрицы
4.14.6. Как найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований?
5. Системы линейных алгебраических уравнений – понятие
5.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки
5.2. Метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы
5.3. Метод Крамера
5.4. Как решить систему с помощью обратной матрицы?
5.5. Метод последовательного исключения неизвестных (Гаусса)
5.6. Несовместные системы
5.7. Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?
5.8. Системы с бесконечным количеством решений
5.9. Однородные системы линейных уравнений
5.9.1. Фундаментальная система решений однородной системы
5.9.2. Выбор базисных переменных
5.9.3. Взаимосвязь решений неоднородной и однородной системы
5.10. Метод Гаусса-Йордана
5.11. Как найти обратную матрицу методом элементарных преобразований?
6. Векторные пространства и линейные преобразования
6.1. Векторное (линейное) пространство. Так что же такое вектор?
6.2. Основные понятия векторного пространства
6.3. Евклидово пространство. Длина и угол
6.4. Линейные преобразования
6.4.1. Как записать оператор в матричной форме?
6.4.2. Матрица линейного преобразования в различных базисах
6.5. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования
6.5.1. Как найти собственные значения и собственные векторы?
6.5.2. Линейное преобразование в базисе из собственных векторов
6.5.3. Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?
6.5.4. Как решать задачу в случае кратных собственных чисел?
6.6. Гомоморфизм алгебраических структур
7. Решения и ответы, а также Приложения доступны в полной версии.
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему на портале – просто, доступно, весело и бесплатно!
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
|
Высшая алгебра для начинающих