Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.6. Гомоморфизм алгебраических структур

Наблюдая за объектами и явлениями окружающего мира, легко уловить, что многое в нём устроено «по образу и подобию». Начиная от геометрических форм и заканчивая сложными понятиями, лежащими, порой, на грани познания. Похожи камни на пляже, похожи живые организмы (по структуре и функциям), подобен микро- и макромир – наверное, многие знают, что атом имеет звёздно-планетарную структуру.

Математика – это один из способов описания мира, и в рамках книги мы рассмотрели лишь малую толику математического аппарата, алгебраические структуры в частности. Осталось разобраться, что такое гомоморфизм, хотя, в «общих чертах» Вы уже догадываетесь что это. Начнём с частного, более «чёткого» случая гомоморфизма.

Изоморфизм – это понятие, выражающее одинаковость (от греч. isos – одинаковый и morphe – форма). Два множества изоморфны, если между их элементами, а также свойствами, операциями, отношениями может быть установлено взаимно-однозначное соотношение. Лично я впервые узнал об изоморфизме в школе: существуют родственные по составу химические вещества, которые имеют одинаковую кристаллическую структуру.

Но это, конечно, сурово, есть более простые примеры :) Так, изоморфными являются два сапога и пара тапочек. И в самом деле, левому сапогу соответствует левая тапка, а правому сапогу – правая тапка. Биекция? Биекция. Но главное, одинаково функциональное назначение обоих множеств, и сапоги и тапки – это обувь.

В начале курса мы коснулись математической логики, которая оперирует понятиями Истина / Ложь. Однако зачем всё время писать эти длинные слова? – замучиться можно, гораздо удобнее использовать изоморфные обозначения 1 / 0. И математическая логика от этого не изменится.

Очень удачный пример изоморфизма в своё время встретился в игре «Что? Где? Когда?», вопрос знатокам: в 90-е годы 20 века японец Масахиро Хара в обеденный перерыв любил поиграть в игру Го. Что он изобрёл? В игру Го играют белыми и чёрными фишками, которые выставляют на белую клетчатую доску, и этому японцу пришёл в голову новый метод кодирования информации – ныне всем известный QR-код.

Любой расстановке фишек в игре Го соответствует свой уникальный QR-код, и обратно – любому QR-коду соответствует одна и только одна расстановка фишек в игре Го (правда, доску придётся увеличить). Но помимо взаимно-однозначного соответствия, важен тот факт, что оба объекта одинаковым образом кодируют информацию.

Заметьте, что изоморфизм – это не «абсолютная схожесть» множеств. Так, игре Го многие тысячи лет и её правила не имеют никакого отношения к кодированию информации. С другой стороны, квадратики QR-кода мало похожи на круглые фишки игры Го.

Таким образом, когда мы говорим об изоморфизме, то важно следующее:

– взаимно-однозначное соответствие между элементами двух множеств;

– одинаковость структуры множеств, будь то лево-право в обуви или взаимное расположение элементов в игре Го / QR-кодах.

И, как Вы правильно догадались, в алгебре речь пойдёт о сохранности алгебраической структуры, то есть об изоморфных группах, кольцах, линейных пространствах и т. д.

+ любопытно то, что изоморфизм не обязательно сопоставляет одинаковые операции во множествах, как мы видели в примерах выше. В одном множестве это может быть одна операция, а во втором – совершенно другая. И такие примеры скоро будут.

Рассмотрим группу комплексных чисел относительно операции сложения. Покажем, что эта группа изоморфна группе геометрических векторов плоскости (в некотором базисе) относительно сложения.

Взаимную однозначность элементов установим с помощью функции , которая каждому комплексному числу ставит в соответствие вектор (очевидно, один и только один).

Проверим сохранность операции, для этого сложим числа по детскому правилу . Теперь найдём образы чисел: , и сложим векторы: .

Легко видеть, что сумме произвольных чисел соответствует вектор с такими же координатами , и наоборот. Таким образом, группа изоморфна группе . Иными словами, с точки зрения данной алгебраической структуры, комплексные числа и двумерные векторы плоскости устроены одинаково. Хотя это разные математические объекты.

Как я уже отмечал, изоморфизм может сопоставлять группы с разными операциями. Рассмотрим две абстрактные группы , , у которых операции и * – в общем случае различны. Эти группы изоморфны, если:

– между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие; как правило, это делают с помощью биективной функции , которая переводит элементы первой группы в элементы второй;

– действию в первой группе соответствует операция во второй группе.

Всё определение и последний пункт в частности можно записать лаконичнее:

Изоморфизмом групп из в называют взаимно-однозначную функцию , такую, что для всех выполнено .

Рассмотрим аддитивную группу действительных чисел и группу положительных действительных чисел относительно умножения. Вроде бы множества разные и действия разные.

Но возьмём функцию , которая переводит действительные числа «икс» в положительные действительные числа «игрек». Очевидно, что любому «икс» соответствует одно и только одно положительное действительное значение , и наоборот (взаимная однозначность).

Кроме того, операции сложения элементов в первом множестве соответствует – операция умножения образов во втором множестве.

Вывод: функция задаёт изоморфизм группы в группу .

Очевидно, существует и обратная взаимно-однозначная функция , задающая изоморфизм группы в группу .

Таким образом, тот или иной изоморфизм привязан к определённым множествам и конкретным функциями / свойствам / отношениям этих множеств.

Более того, изоморфными могут быть не только группы с арифметическими действиями. Обозначим через множество невырожденных линейных преобразований плоскости – вспоминаем изображение Тузика, которое можно увеличить, уменьшить, растянуть, повернуть, сдвинуть или исказить произвольным образом. Это множество является группой относительно операции композиции, где роль нейтрального элемента играет тождественное преобразование («ничего с Тузиком не делает»), а роль обратного элемента – обратное преобразование («возвращает Тузика в исходный вид»).

Следует заметить, что группа некоммутативна, так, если мы сначала – сдвинем Тузика вправо, а затем – отобразим его симметрично относительно вертикальной оси, то получится один результат. А если эти действия выполнить в другом порядке, то получится другая картинка. Таким образом, в общем случае .

Рассмотрим «школьный» базис (например). Тогда любое преобразование множества можно записать, причём единственным образом, в виде квадратной матрицы «два на два». И обратно, любой такой матрице соответствует своё линейное преобразование. То есть, существует взаимно однозначное соответствие между невырожденными преобразованиями плоскости и множеством невырожденных матриц.

Более того, любой композиции преобразований множества соответствует строго определённое произведение матриц множества .

Как мы помним (или вспомним), – есть некоммутативная группа, и эта группа изоморфна группе невырожденных преобразований плоскости.

Вот оно как бывает – в одной группе речь идёт о композиции геометрических преобразований, а в другой – об умножении, да ещё и матриц. Но с точки зрения алгебраической структуры, эти множества имеют одинаковую природу.

Выше я привёл определение изоморфизма групп, и аналогично можно дать определение изоморфизма колец, полей, векторных пространств и других структур, со своей спецификой в том или ином случае.

Так, два линейных пространства и являются изоморфными, если между их векторами можно установить взаимно однозначное соответствие , такое, что:
1) для любых векторов из ;
2) , где , как мы оговорили ранее, действительное число.

Этот пример я привёл не случайно, поскольку здесь есть очень важный изоморфизм: любое векторное пространство конечной размерности изоморфно арифметическому пространству . Пространства разной размерности не могут быть изоморфными.

Рассмотрим, например, пространство многочленов, степень которых меньше пяти, и сложим, скажем, многочлены и :

Но любому многочлену из можно поставить в соответствие свою уникальную строку пространства и тупо просуммировать их: , получая эквивалентный результат. Аналогично – что мы многочлен умножим на число , что соответствующую строку на – результат, по сути, один. Изоморфизм? В грубой форме :)

Изоморфизм, как отмечалось – есть частный случай гомоморфизма (греч. homoios – подобный и morphe – форма). Подобная форма, задумайтесь…. Гомоморфизм не обязан соблюдать взаимно однозначное соответствие между элементами множеств и в типичном случае происходит потеря информации.

Так, можно записывать на листочек хорошие и плохие события в своей жизни. А можно просто ставить плюс / минус либо смайлики :) и :(. Выражаясь математически, здесь мы провели гомоморфное отображение событий во множество двух символов. И «сторонний наблюдатель» ничего не будет знать о самих событиях. Только счёт на табло.

Географическая карта гомоморфна реальной местности. Фотография человека гомоформа самому человеку. Перевод стихотворения на другой язык гомоморфен оригиналу. И так далее. Как ни крути, но ни карта, ни фотография, ни перевод талантливый не передадут со 100%-ной точностью «оригинальные» объекты (иначе был бы изоморфизм).

Яркий гомоморфизм – это моделирование, всевозможное, во всех ипостасях. Так, бумажный кораблик гомоморфен настоящему кораблю, и не только по основным конструктивным элементам, но и по главной функции – способности плавать. И тут моряки поправят – корабли ходят, плавает кое-то другое J.

В топологии есть родственное понятие с благородным названием гомеоморфизм, который в своё время популяризовали журналисты – в связи с доказательством Григорием Перельманом гипотезы Пуанкаре. Но я не буду уподобляться жёлтой прессе и приведу совсем простой пример: шар гомеоморфен кубу, т. к. из одного можно вылепить другое.

И в алгебре мы будем говорить о гомоморфизме алгебраических структур. Вернёмся к одной их самых популярных:

гомоморфизмом из группы в группу называют функцию , такую, что для всех элементов выполнено .

Как видите, определение почти такое же, как и определение изоморфизма – с той поправкой, что здесь нет требования взаимной однозначности функции . И этот факт мы используем немедленно, причём, самым жестким образом :)

Рассмотрим группу комплексных чисел относительно сложения и группу, состоящую из одного нуля относительно этой же операции. …Да, это группа, проверьте аксиомы, если до сих пор сомневаетесь.

Рассмотрим отображение группы в группу . Коль скоро во второй группе один элемент, то сделать это можно единственным образом: – попросту говоря, обнулить все комплексные числа. Тогда сумме элементов исходной группы:
– соответствует сумма элементов второй группы.

Гомоморфизм? Конечно. По определению. После применения функции остаётся известным лишь то, что складывали какие-то два комплексных числа.

Кроме того, все элементы любой группы можно отобразить в её нейтральный элемент, что называют тривиальным гомоморфизмом.

И теперь очень важный момент: существует общая (абстрактная) теория гомоморфизма групп, но частные примеры всегда конкретны: гомоморфизм задаётся между конкретными группами конкретной функцией . Так, ранее мы рассмотрели гомоморфизм той же группы в группу геометрических векторов плоскости, который оказался изоморфизмом.

На очереди более содержательные примеры. Рассмотрим группу целых чисел относительно сложения, группу из «плюс» и «минус» единицы относительно умножения и зададим функцию . Убедимся в том, что она задаёт гомоморфизм группы в группу . И тут проще перечислить все варианты: сумма чётных чисел – есть чётное число, этому случаю соответствует произведение во второй группе. Чёт + Нечёт = Нечёт и наоборот, Нечёт + Чёт = Нечёт – этим случаям соответствуют произведения и . И наконец, сумму Нечёт + Нечёт = Чёт характеризует произведение .

Таким образом, для произвольных целых чисел: , следовательно, отображение является гомоморфизмом. После применения этой операции остаётся известной лишь чётность / нечётность чисел, которые складывали.

В тематических источниках распространён пример, где вместо рассматривается группа симметрий равностороннего треугольника и строится аналогичный гомоморфизм в группу . То есть операции в группах могут быть совершенно разными.

Разумеется, определение гомоморфизма можно дать и для других алгебраических структур, и в качестве примера я приведу его для колец.

Отображение кольца в кольцо называют гомоморфизмом, если для любых элементов первого кольца выполнены равенства и .

И это опять же не случайность, поскольку здесь есть «жизненные» гомоморфизмы. Рассмотрим кольцо целых чисел и будем делить их, например, на два. В результате деления любого числа может получиться либо остаток ноль, либо остаток единица.

Теперь делим целые числа, скажем, на семь. В результате деления любого числа может получиться один из следующих семи остатков: – будем обозначать их с чёрточками наверху. И очевидно можно взять любое другое натуральное число, бОльшее единицы, например, , и получить 12 остатков .

Структуру называют кольцом вычетов по модулю . И она действительно является кольцом, со специфическим сложением и умножением элементов. Так, рассмотрим и выполним сложение остатков – тут всё получилось «хорошо», так как элемент есть во множестве . Но как быть, скажем, с суммой ? Очень просто, делим девять на семь и получаем остаток «два»: . Это всё равно, что к условному четвергу (день № 4) прибавить пять дней и получить вторник (день № 2). К слову, множество дней недели с операциями изоморфно кольцу . Аналогично с умножением: – здесь мы двадцать разделили на 7 и получили остаток

Утверждение: отображение кольца целых чисел в кольцо вычетов по модулю (кстати, проверьте аксиомы) – есть гомоморфизм.

Я не буду приводить обоснование в общем виде, а объясню суть на конкретном примере в кольце . Так, мы можем сложить два целых числа: 10 + 15 = 25, разделить результат на 7 и получить остаток . А можно сначала найти остатки (выполнить отображение) и просуммировать их с тем же результатом: . Аналогично с произведением: – делим на 7, остаток , что соответствует изящному .

В результате этого гомоморфизма «утрачиваются» сами целые числа, в частности, если нам предъявить сумму остатков , то мы не сможем сказать, от каких именно чисел после деления на семь они остались.

Как я уже мимоходом упомянул, кольцо вычетов по модулю «эн» часто встречается в жизни. Так, кольцо изоморфно временам года относительно операций , кольцо – месяцам года, а также циферблату стрелочных часов с 12 делениями. Кольцо изоморфно часам в сутках, а – циферблату часов с минутными делениями. Операцию сложения в этих кольцах мы проводим буквально каждый день, например, к времени 12.50 прибавляем 25 минут и получаем время 13.15. Сложению минут соответствует сумма в кольце . Изоморфизм? Очевидный.

После приведённых примеров у Вас могло сложиться впечатление, что множество, в которое отображают, всегда меньше, чем исходное множество (по количеству элементов). Однако это не так. Вернёмся к гомоморфизму и отобразим не в мини-группу из двух элементов, а в группу действительных чисел без нуля относительно умножения. Да, функция по-прежнему переведёт все целые числа в +1 и –1, но это будет всего лишь подмножество множества действительных чисел: . Так как речь-то идёт о гомоморфизме в группу .

И здесь мы подошли к двум ключевым характеристикам гомоморфизма. Рассмотрим гомоморфизм из множества во множество .

Образом гомоморфизма называют множество . Проще говоря, это то, во что превратилось множество , и в общем случае – это подмножество .

Ядром гомоморфизма называют подмножество , которое отображается – в нейтральный элемент множества .

Образ обозначают через (англ. Image), а ядро – (англ. Kernel).

Так для гомоморфизма из группы в группу (см. выше) образом является множество и это есть подмножество множества . Ядро же состоит из единственного целого числа , которое переходит – в нейтральный элемент множества . К слову, нейтральный элемент обязательно отображается в нейтральный элемент, это одно из простейших свойств гомоморфизма.

Теперь рассмотрим гомоморфизм из кольца в кольцо . Образ гомоморфизма – это то, во что превратилось множество целых чисел после деления каждого числа на семь: . Заметим, что – есть нейтральный элемент множества , стало быть, ядро – это множество чисел, которые делятся на 7 без остатка: – все эти числа гомоморфизм переводит в нейтральный элемент множества .

Если гомоморфизм не является изоморфизмом, то «обратного пути» нет. Но ничто не мешает рассмотреть обнуляющий гомоморфизм , скажем, того же кольца в кольцо . Образ этого гомоморфизма – и это есть подмножество множества целых чисел, а ядро – поскольку все элементы отображаются в нейтральный элемент кольца .

Желаю успехов!

6.5.4. Как найти собственные векторы в случае кратных собственных чисел?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин