6.4.1. Как записать оператор в матричной форме?
На этот счёт существует общее правило: чтобы записать матрицу линейного преобразования в -мерном базисе нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы (слева направо).
Наш школьный случай элементарен: сначала применим линейное преобразование к первому базисному вектору: и запишем результат в 1-й столбец: . Затем «обрабатываем» 2-й орт: и заносим полученные координаты во 2-й столбец:
– матрица линейного преобразования в базисе .
Само же преобразование можно записать в виде функции .
! Не путаем обозначения: прямая буква – оператор, косая буква – матрица, не сильно это удачно, но практически общепринято в литературе.
Протестируем функцию на векторе – выполним матричное умножение:
– в результате «на выходе» получены координаты вектора , что и требовалось проверить.
Помимо векторов, оператор можно применить к любой точке плоскости. Для этого только нужно задать начало координат, получив тем самым декартову систему .
Поскольку любая точка плоскости однозначно определяется её радиус-вектором , то функция , по сути, применИма и для координат точек. Далее для простоты будем говорить и писАть, что, например, точка 
– перешла в точку .
И, наверное, Вы уже поняли, что делает этот оператор. Мысленно представьте произвольный треугольник на плоскости. После применения рассматриваемого линейного преобразования данный треугольник увеличится в два раза. Такие треугольники (имеющие равные соответствующие углы), как многие помнят из школы, называются подобными. Да и сам оператор носит такое же название:
Линейное преобразование называется преобразованием подобия или гомотетией, причём:
– если , то речь идёт об однородном растяжении (увеличении) объектов плоскости в раз;
– если – то о сжатии (уменьшении) в раз;
– если , то преобразование тождественно (ничего не меняет)
– и если , то имеет место вырожденное преобразование.
В том случае, если меньше нуля, то дополнительно к растяжению /сжатию / неизменности векторы меняют направление, а точки отображаются симметрично относительно начала координат.
Рассмотрим ещё несколько популярных примеров в системе , и, чтобы разнообразить серые геометрические будни, мысленно нарисуем на координатной плоскости собачку. Можно и не мысленно! …Представили? Нарисовали? Отлично!
Преобразование растягивает объекты плоскости по направлению вектора (горизонтали) в 2 раза, после чего Тузик радует нас своей широкой-широкой улыбкой! …Хотя, у многих, наверное, не Тузик…, да и не факт, что с улыбкой. Как сказал поэт, у каждого в голове своя морда =)
И в самом деле, преобразуем точку :
– «иксовая» координата увеличилась в 2 раза, а «игрековая» – не изменилась.
Преобразование сожмёт собаку по горизонтали в 3 раза. Желающие могут по ходу объяснений приготовить мясорубку тестировать различные точки, выполняя матричное умножение, тут оно устное.
Преобразование вытянет все ненулевые объекты плоскости по направлению вектора (по вертикали) в полтора раза. Получится очень удивлённый пёс.
Дополнительные знаки «минус» приведут к зеркальному отображению объектов (относительно оси ординат либо начала координат). И здесь я хочу остановиться на одном очень важном случае: преобразование сохранит размеры, но отобразит все объекты плоскости симметрично относительно оси , частности, вектор перейдёт в вектор и базис отобразится в другой, тоже ортонормированный базис :

Это преобразование называют осевой или зеркальной симметрией. Такая симметрия характерна тем, что меняет ориентацию плоскости. Это проявляется в том, что как ни двигай по плоскости собачек – совместить их не удастся.
Ориентация бывает левой и правой. Вытяните перед собой обе руки ладонями вверх, так, чтобы большие пальцы смотрели в стороны под углом 90 градусов. При этом ваша правая рука моделирует правосторонний базис , где вектор смотрит в направлении большого пальца, а – в направлении указательного. Соответственно, левая рука аналогично моделирует левый базис и левостороннюю ориентацию плоскости
Впрочем, оставим хлеб для геометрии, и вернёмся теме. Нетрудно догадаться, что преобразование отобразит все объекты вниз – симметрично относительно оси («отражение в реке»).
Смотрим дальше:
– образно говоря, «челюсть налево, уши направо». Это преобразование называется перекосом или сдвигом плоскости в направлении вектора (в данном случае).
И очевидна матрица вертикального сдвига – в направлении вектора .
Повороты:
– данное преобразование поворачивает векторы системы против часовой стрелки на угол .
И, наконец, все эти метаморфозы венчает общий случай . Это преобразование переводит единичный квадрат с вершинами в параллелограмм с вершинами . И, разумеется, весь «рисунок» плоскости (вместе с квадратом) вытягивается в пропорциях этого параллелограмма.
! На всякий пожарный напомню, что координаты новых точек получаем по формуле , где – координаты исходных.
Так, преобразование переводит единичный квадрат с синими вершинами (см. ниже) в зелёный параллелограмм с вершинами :

При этом координатный вектор , отображается в вектор , а вектор – в вектор . ПосмотрИте на координаты полученных векторов и на числа матрицы преобразования ;)
Нетрудно понять, что масштабируется и площадь – была площадь квадрата , равная единице, а стала – площадь параллелограмма . Причём, площадь этого параллелограмма по модулю в точности равна определителю матрицы преобразования. В нашем случае: 
Если же определитель отрицателен, то такое преобразование не только искажает объекты плоскости (в общем случае), но и выполняет их отражение (меняет ориентацию). Так, для преобразования получаем вроде бы тот же параллелограмм…, да не тот! Самостоятельно проанализируйте, куда отображаются точки , и вы поймёте, что помимо искажения (в таких же пропорциях, что и первое преобразование), выполняется ещё и отражение Тузика «наоборот». О чём говорит знак определителя: .
И теперь самое время прояснить геометрический смысл определителя. Определитель «два на два» по модулю: – есть площадь параллелограмма, построенного на векторах (см. рис. выше). Определитель «3 на 3» по модулю – есть объём параллелепипеда, построенного на векторах , (см. смешанное произведение векторов). И для бОльших размеров (4 на 4 и выше) можно говорить об объеме абстрактного n-мерного параллелепипеда.
Если определитель матрицы преобразования равен нулю , то оно является вырожденным. Так, вырождено тривиальное нулевое преобразование, которое отображает все векторы в нулевой вектор. Это преобразование имеет нулевую матрицу, для двумерного случая: . Или, например, оператор , переводящий векторы в коллинеарные друг другу векторы .
Эффект вырожденного преобразования состоит в потере информации, и, как следствие, невозможности осуществления обратного преобразования. Так, если нам предъявить готовый результат из последнего примера, то невозможно выяснить, какой именно вектор подвергся преобразованию.
Типичное вырожденное преобразование – это проецирование. Говоря проще, если вы видите тень в форме круга, то далеко не факт, что её отбрасывает шар. Это может быть эллипсоид, цилиндр, зонтик – много какие объекты. Но то уже пример из пространства.
И следующее утверждение давно читалось «между строк»: любое линейное преобразование n-мерного векторного пространства можно записать в виде квадратной матрицы размером – в некотором фиксированном базисе этого пространства.
Верно и обратное: любой квадратной матрице соответствует определённое линейное преобразование этого пространства, записанное в базисе .
В частности, любое преобразование плоскости можно записать в виде матрицы в базисе , и обратно – любой матрице «два на два» соответствует определённое преобразование плоскости, записанное в этом базисе.
Эти факты хоть и очевидны, но строго доказаны в теории.
Переходим к практическим задачам:
Пример 131
Линейный оператор задан матрицей . Найти образ вектора . Используя обратное преобразование, выполнить проверку.
Но прежде, инструктаж перед полётом.
Во-первых, не вкладываем в векторы и в само преобразование никакой смысл: ни геометрический, ни химический, ни алхимический – никакой. Коль скоро об этом не сказано в условии. Никаких базисов. «Не болтаем» и оформляем решение абстрактно.
Во-вторых, вспоминаем терминологию: образ – это то, что получается в результате преобразования, а прообраз – это исходный объект, вектор в нашем случае.
Решение: найдём вектор , полученный в результате преобразования вектора . Это мы уже неоднократно делали выше:

Таким образом, это линейное преобразование перевело вектор (прообраз) в вектор (образ).
Теперь найдём обратное преобразование, которое превращает образы векторов – обратно в их прообразы. Оно существует лишь в том случае, если прямое преобразование не вырождено. Проверяем этот факт: , значит, преобразование не вырождено и обратное преобразование осуществимо.
Запишем матричную функцию в виде , где – координатный столбец прообразов, а – образов. Этой функцией мы только что воспользовались для нахождения вектора . Но теперь нам нужно выразить прообраз. Чтобы выразить , умножим обе части на обратную матрицу слева:

, откуда следует, что

Таким образом, обратному линейному преобразованию соответствует обратная матрица . Осталось её найти. Это можно сделать «традиционным» способом либо с помощью элементарных преобразований. Здесь я рекомендую первый путь, поскольку он позволяет сразу выяснить, а существует ли матрица вообще. Тем более, это мы уже сделали: , значит, обратное линейное преобразование существует и задаётся матрицей .
Здесь и далее я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, ограничиваясь готовым результатом. Итак, в результате стандартных действий находим и выясняем, во что обратится найденный вектор :
– получены координаты исходного вектора (прообраза), что и требовалось проверить.
Ответ: 
Небольшая задачка для разминки:
Пример 132
В результате применения оператора, заданного матрицей , получены образы . Найти прообразы данных векторов.
Сверяемся и повышаем размерность:
Пример 133
Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .
…Спокойно, спокойно, сейчас во всём разберёмся…
Решение: и первое, что здесь опять можно сказать – это отсутствие информации о характере векторов . Понятно только, что они заданы в некотором базисе трёхмерного векторого пространства, ибо матрица линейного преобразования (замаскированная в виде системы) порождается базисом. Он нам тоже не известен, но для решения задачи эта информация и не нужна.
Тем не менее, для пущего понимания вновь обратимся к геометрии и предположим, что все дела происходят в обычной декартовой системе координат . И, чтобы не прослыть живодёром, я рассмотрю 3D-модель кота Леопольда =)
Запишем матрицу первого преобразования: . Данное преобразование переводит векторы в образы . Систему, кстати, удобнее переписать в виде уже знакомой матричной функции:
или, если короче: .
Данный оператор определённым образом преобразует все векторы (а значит и точки) пространства. Геометрически это означает, что кот Леопольд, оказывается, например, сплющенным (не знаю, не проверял).
Теперь ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО записываем матрицу второго преобразования: (здесь существует немалый риск поставить ноль не там где нужно). Данное преобразование переводит векторы в образы , в результате чего «сплющенный кот», скажем, растягивается вдоль какой-нибудь плоскости.
Аналогично – запишем преобразование в матричной форме:
или: 
По условию, нужно найти преобразование, выражающее через , то есть результирующее преобразование (композицию), которое нам сразу даст «сплющенного и растянутого Леопольда». Для этого подставим в уравнение :

И всё оказывается до безобразия просто – главное, матрицы перемножить в правильном порядке. Вычислим матрицу композиционного преобразования:

распишем итоговую функцию :

и осуществим матричное умножение в правой части:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, итоговое преобразование, выражающее координаты векторов-образов через координаты векторов-прообразов , запишется в виде следующей системы:

Проверка: подставим уравнения , левой системы (см. условие) в правую часть каждого уравнения правой системы:

что и требовалось проверить.
«Проверочный» способ, кстати, можно было бы рискнуть взять и за основной, если бы итоговое преобразование не требовалось найти средствами матричного исчисления.
Да, и не забываем записать
ответ: 
Как пользоваться этой системой? Очень просто – берём, например, вектор и тупо подставляем его координаты в систему:
– таким образом, он перешёл в вектор .
Более академичный способ – использование матричного уравнения :

Если преобразования, заданные матрицами , , не вырождены (не проверял), то «кота можно ввернуть к первоначальному виду». Для этого нужно найти обратную матрицу результирующего преобразования и воспользоваться функцией .
Творческое задание для самостоятельного исследования:
Пример 134
Даны линейные преобразования:

Найти образ вектора двумя способами:
1) путём последовательного применения преобразований и ;
2) с помощью композиционного оператора, выражающего через .
Был велик соблазн вас запутать, но всё же я воздержался. Однако на практике нужно иметь в виду следующее:
– системы запросто могут быть переставлены местами;
– условие задачи может требовать выразить через и тогда потребуется дополнительно находить обратную матрицу результирующего преобразования.
В этой связи очень важно РАЗОБРАТЬСЯ в сути задания, и если что-то осталось недопонятым, обязательно перечитайте объяснения ещё раз, можно даже порисовать.
Да, и стиль напомню: прямые буквы – операторы, косые – матрицы.
6.4.2. Матрица линейного преобразования в различных базисах
6.4. Линейные преобразования
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
|