Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.4.2. Матрица линейного преобразования в различных базисах

Как мы выяснили ранее, матрица линейного преобразования порождается базисными векторами. Но базисов существует очень много! (в том или ином векторном пространстве). И из этого следует, что одно и то же линейное преобразование в разных базисах в общем случае имеет разные матрицы.

Так, мы рассмотрели матрицу перекоса плоскости в направлении вектора в декартовой системе . Но на плоскости можно задать несчётное множество аффинных («косоугольных») систем , где – произвольные неколлинеарные векторы. И тот же самый перекос запишется совершенно другой матрицей – в зависимости от того, какие векторы мы выбрали в качестве базиса.

Следующие задачи посвящены вопросам взаимосвязи матриц одного и того же линейного преобразования в разных базисах, после чего я приведу общие формулы:

Пример 135

Линейный оператор задан матрицей в базисе . Найти матрицу этого преобразования в базисе , если

Решение: в условии опять ничего не сказано о природе векторов, но зато бросается в глаза линейное преобразование. Коль скоро речь идёт о некоем базисе , то любой вектор двумерного пространства раскладывается по этому базису , и линейный оператор – удваивает его вторую координату.

Для наглядности снова предположим, что это геометрические векторы и базис. Тогда предложенное линейное преобразование вытягивает все ненулевые объекты плоскости в направлении координатного вектора в 2 раза, и наша задача состоит в том, чтобы записать матрицу этого же преобразования в новом базисе .

Для решения данного вопроса существует специальная формула:

, где – матрица перехода от базиса к базису .

Составляется она просто: берём вектор и «укладываем» коэффициенты его разложения в 1-й столбец (!) матрицы: . Затем рассматриваем вектор и заносим коэффициенты его разложения во 2-й столбец:

Внимание! Базисные векторы, в данном случае , следует «перебирать» строго по порядку!

Остальное дело техники.

Находим обратную матрицу , произведение:

и, наконец, матрицу рассматриваемого линейного преобразования в новом базисе:

Пользуясь ассоциативностью матричного умножения, сначала можно найти , а затем , но, в общем-то, это уже несущественные детали.

Ответ:

Ещё раз повторим смысл задания: само линейное преобразование не поменялось – оно по-прежнему растягивает ненулевые объекты плоскости вдоль «старого» вектора в 2 раза и не деформирует их в направлении вектора , но в новом базисе матрица данного преобразования уже другая. И вы видите её в ответе.

Очевидно, что найденная матрица задаёт обратное преобразование, т. е. выражает старые базисные векторы через новые. Аккуратно «транспонируем» столбцы матрицы в коэффициенты соответствующей системы: .

Таким образом, при желании всегда можно вернуться к матрице преобразования в старом базисе: (выполнив, кстати, проверку). Эта формула следует из простых логических соображений, но её можно вывести и формально – разрешив матричное уравнение относительно .

Какой базис удобнее? Ну конечно, , где матрица преобразования имеет вид , и сразу виднА характерная особенность этого преобразования. Следует заметить, что на практике как раз и стараются отыскать такой особый базис, чем мы займёмся в ближайшем будущем. Пока же всё вышло наоборот :)

Трехмерный случай для самостоятельного решения:

Пример 136

Найти матрицу линейного преобразования в базисе , где , , , если она задана в базисе :

Не помешает проверка по формуле , где – найденная матрица, благо, Матричный калькулятор приложен к Книге.

Теперь обещанный общий случай и крайне интересные факты из теории: пусть невырожденное линейное преобразование задано матрицами и в произвольных базисах и n-мерного линейного пространства. Тогда эти матрицы связаны отношением , где – матрица перехода к базису , составленная из координат векторов .

Матрицы и , представимые в виде называют подобными. И у таких матриц есть несколько инвариантов. В курсе геометрии сиё понятие уже встречалось: инвариант – это величина, которая не меняется в результате преобразования.

Так, определители подобных матриц равны: . И в самом деле, рассмотрим матрицы , из Примера 135 и вычислим их определители:
, ч. т. п.

Другой инвариант – след матрицы: (англ. trace – след). Напоминаю, что это сумма элементов главной диагонали: и .

Данные факты можно использовать для «быстрой» проверки решения, в частности, Примера 136. Хотя, это, конечно, не железобетон.

Любой паре подобных матриц соответствует определённое линейное преобразование, и скоро мы узнАем его другие, более важные инварианты.

6.5. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования

6.4.1. Как записать оператор в матричной форме?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин