Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.4. Линейные преобразования

Повысили стипендию? Линейное преобразование. Увеличили этот текст на экране? Линейное преобразование. Отразились в зеркале? …Наверное, не вампир :).

Если в линейном пространстве каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задана векторная функция векторного аргумента: . …Заходит? :)

Данная функция называется линейным преобразованием над полем действительных чисел, если для неё выполнено свойство линейности:
,

, где – произвольные векторы данного пространства, а – действительное число.

Обозначения: помимо , в ходу литературная версия без скобок: .

Линейное преобразование также называют линейным оператором.

И обращаю внимание, что данное выше определение абстрактно – в нём речь идёт о векторном пространстве в его общем алгебраическом понимании. Но мы, конечно, ради понимания вложим в векторы смысл, что я уже начал делать в первом абзаце.

Рассмотрим пространство доходов от учёбы – студентов некоторого ВУЗа за один месяц. Доходы, причём, могут быть и отрицательными, если студент платит репетиторам и / или за обучение. Тогда, с некоторыми оговорками, это пространство можно считать векторным, одномерным…, ну вот, наконец-то вы стали вникать в теорию :)

В связи с инфляцией цены увеличились на 20% – были проиндексированы как стипендии, так соразмерно увеличилась и плата за обучение. Таким образом, имеем преобразование , которое каждому вектору пространства ставит в соответствие вектор «игрек» этого же пространства по правилу .

Докажем, что это преобразование линейное (и в самом деле, ведь нелинейных гораздо больше). Во-первых, оператор отображает векторы пространства в векторы этого же пространства, что я уже подчеркнул выше. И во-вторых, нужно проверить свойство линейности, которое состоит из двух правил:

1) Для лучшего понимания я рассмотрю конкретные векторы (предположим, стипендии Иванова и Петрова), и выполню преобразование:
, с другой стороны:
,
таким образом, .

2) Пусть Иванов стал отличником и ему дополнительно увеличили стипендию на 50%. Тогда: , с другой стороны:
,
таким образом, .

Вывод: преобразование – линейное.

Возможно, такие доказательства кажутся Вам глупостью, но, тем не менее:

Задание 5: В текущем месяце ВУЗ дополнительно выплатил единовременную материальную помощь каждому студенту в размере 50 ден. ед. Записать советующее преобразование и доказать, что оно линейное.

Ещё раз: в чём состоит доказательство? Во-первых, нужно показать замкнутость оператора относительно , и во-вторых, проверить свойство линейности (два пункта). Сверяемся в конце книги (после решения Примера 130) и повышаем размерность.

Рассмотрим двумерное арифметическое пространство с заданными операциями сложения векторов по правилу и умножения вектора на действительное число .

Рассмотрим простенькое преобразование и докажем, что оно линейное.

Данный оператор каждому вектору пространства ставит в соответствие вектор , который принадлежит этому же пространству. Таким образом, это преобразование удваивает координаты векторов. Здесь хочется сказать «удваивает длину», но лучше не нужно. По той причине, что длина – есть атрибут евклидова пространства, а о нём тут речи не идёт. Вот видите, как… математика воспитывает в нас очередной философский и очень жизненный принцип:

Не болтай! (но я-то, конечно, буду:D – ради науки)

Проверим свойство линейности:

1) Для любых векторов пространства: в силу аксиомы 8 векторого пространства

2) А вот здесь прочувствуйте всё строгость и красоту настоящей алгебры, закомментирую каждый шаг:

(1) применяем оператор к произведению ;
(2) используем ассоциативность умножения на скаляр (аксиома 5);
(3) используем коммутативность действительных чисел (аксиома 8 поля);
(4) используем ту же аксиому 5 векторного пространства;
(5) – это в точности результат воздействия оператора на вектор .

Вывод: – линейное преобразование.

Ну а сейчас спустимся на землю грешную и вдохнём в векторы конкретный смысл. А именно, рассмотрим евклидово пространство геометрических векторов плоскости в ортонормированном базисе и тот же оператор .

Если задан какой-либо базис векторного пространства (любой), то линейное преобразование удобно представить в матричном виде.

6.4.1. Как записать оператор в матричной форме?

6.3. Евклидово пространство. Длина и угол

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин