Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.3. Евклидово пространство. Длина и угол

Действительное векторное пространство называют евклидовым, если в нём задано скалярное произведение векторов (никаких геометрических ассоциаций!!!). Это правило , которое каждой паре векторов данного пространства ставит в соответствие вещественное ЧИСЛО, при этом выполнены следующие аксиомы:

– коммутативность (симметричность) скалярного произведения;

– дистрибутивность относительно сложения ;

– ассоциативность относительно действительного множителя;

– неотрицательность скалярного квадрата, причём – тогда и только тогда, когда – нулевой вектор.

Обращаю внимание, что это определение (как и определение самого векторого пространства) имеет «максимально широкий охват». Векторы пространства могут быть произвольной природы и скалярное определение определено разными способами, часто не единственным (для конкретного пространства). Важно лишь, чтобы были выполнены постулаты скалярного произведения.

Обозначения: в зависимости от темы, пространства и стиля скалярное произведение могут рисовать по-разному: , , , и, конечно, варианты с черточками наверху, в частности, в нашей родной евклидовой геометрии: либо . Откуда, к слову, и пришёл термин.

Зачем нужно скалярное произведение?

…О-го-го! Оно позволяет задать в линейном пространстве такие понятия, как длину вектора, и угол между ними.

Длиной вектора в евклидовом пространстве называется число, равное квадратному корню из скалярного квадрата этого вектора: . Длину также называют нормой или, что мы чаще слышим, модулем вектора.

Угол между векторами пространства – есть число из диапазона , которое следует из соотношения .

Векторы называют ортогональными, если угол между ними равен . Они ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение .
Обозначение: , только не нужно говорить «перпендикулярные» векторы J

И прежде, чем перейти к конкретным примерам, ответим на вопрос существования: а можно ли в векторном пространстве вообще задать скалярное произведение? Вдруг нельзя? Теория радует нас приятным фактом на этот счёт: в любом линейном пространстве конечной размерности можно задать скалярное произведение, а значит, определить длины векторов и углы между ними. Бесконечномерный случай оставлю для самостоятельного изучения – тем, кто заинтересовался алгеброй.

Теперь примеры. Рассмотрим арифметическое пространство и для его векторов , определим скалярное произведение по правилу . …А, кстати, почему эта формула задаёт скалярное произведение? Мало ли, кто что предложит…, порой, полный бред, и в него верят.

Задание 3: доказать, что вышеуказанное правило – есть скалярное произведение.

Выполняем письменно, сверяемся (после решения Примера 130), анализируем недочёты ;) и продолжаем.

Коль скоро скалярное произведение задано, то длина вектора определяется по формуле , а угол между векторами отыскивается из соотношения .

Частные случаи сих формул мы встречали в геометрии, и они кажутся незыблемыми, однако это не так: эти формулы работают лишь в ортонормированных базисах.

Базис называют ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны (каждый с каждым) и имеют единичную длину.

В частности, ортонормированным является декартов базис:
.

Легко понять, что угол между любой парой векторов равен (т. к. скалярные произведения ), а длина каждого вектора (см. формулу выше) равна единице.

Следует заметить, что координаты векторов ортонормированного базиса не обязаны быть такими красивыми, изучИте простенький двумерный пример:
Задание 4: проверить, что векторы образуют ортонормированный базис (образец после решения Примера 130).

Если же мы выбираем другой базис (не ортонормированный), то скалярное произведение будет задаваться иначе, а значит, и другими будут формулы длины и угла. Так, в Примере 129 я разложил вектор – по неортонормированному базису , , и совершенно понятно, что в этом базисе длину вектора «бэ» нельзя рассчитывать как . С общей формулой скалярного произведения (и иже с ним формулами) в произвольном базисе пространства можно ознакомиться в любом стандартном учебнике по линейной алгебре.

Разумеется, скалярное произведение можно задавать и в других векторных пространствах, даже нульмерных. Так, скалярное произведение двух непрерывных на отрезке функций задаётся следующей формулой:
.

Определённый интеграл от произведения непрерывных функций всегда существует, и он – есть вещественное число, а аксиомы скалярного произведения проверяются с помощью свойств определённого интеграла. Они выполнены (поверьте пока на слово), а значит, сия формула задаёт скалярное произведение, и пространство – евклидово.

Да, это, конечно, необычно звучит – «угол между функциями», однако никаких проблем с нахождением таких абстрактных углов нет. Пожалуйста, для двух непрерывных и ненулевых на отрезке функций:

Само собой, понятие длины вектора здесь тоже абстрактно.

На этом курс молодого линалиста закончен, дополнительную информацию можно найти, например, в следующих источниках:

ИЛЬИН В. А., ПОЗНЯК Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов — 4-е изд. — М. Наука. Физматлит, 1999

и стОящий ресурс Сети, где теория изложена весьма хорошо: mathhelpplanet.com

Мы же приступаем к практической эксплуатации векторных пространств:

6.4. Линейные преобразования

6.2. Основные понятия векторного пространства

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин