Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.2. Основные понятия векторного пространства

Информация параграфа будет восприниматься намного легче, если Вы успели познакомиться с понятием линейной независимости и базисом геометрических векторов – «плоский» и пространственный случаи. И сейчас мы разберём всё это в общем виде.

Линейной комбинацией векторов линейного пространства называют выражение вида , где – действительные числа.

Простенькие примеры из геометрии: , и что-нибудь поинтереснее: – линейная комбинация четырёх непрерывных на функций.
Два вектора коллинеарны, если один из них можно линейно (через множитель-константу) выразить через другой: , где – действительное число; ну или наоборот: . Так, «школьные» векторы и – не коллинеарны (ибо такого множителя нет), а вот векторы – да, поскольку . Очевидно, что соответствующие координаты коллинеарных векторов арифметического пространства «эр эн» пропорциональны. Хотя это бывает и не очевидно :)

И более экзотический пример: многочлены – коллинеарны, так как один линейно выражается через другой: .

Векторы векторного пространства называют линейно зависимыми, если хотя бы один из них можно линейно выразить через остальные. В частности, линейно зависимы коллинеарные векторы.

Сформулируем определение более формально: если существует набор действительных чисел , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, и при этом линейная комбинация – равна нулю, то векторы – линейно зависимы. И в самом деле, пусть, например, . Тогда первый вектор можно линейно выразить через остальные: .

Противоположно: векторы линейно независимы, если их линейная комбинация – равна нулю ТОЛЬКО В ТОМ случае, если ВСЕ множители равны нулю . Иными, словами, никакой из этих векторов невозможно выразить через остальные.

Так, линейная комбинация знакомых векторов нашего пространства – равна нулю только в том случае, если ВСЕ коэффициенты нулевые , поэтому векторы линейно независимы.

Окромя геометрии, можно рассмотреть векторы любого линейного пространства, скажем, непрерывные на функции . Как многие правильно подозревали, никакую из этих функций невозможно выразить через остальные с помощью числовых множителей. Поэтому линейная комбинация – только тогда, когда все коэффициенты равны нулю . Следовательно, эти функции линейно независимы, до скорых встреч в дифференциальных уравнениях!

Размерностью векторного пространства называют максимальное количество линейно независимых векторов.
Обозначение: (от англ. dimension – размерность).

Любой упорядоченный набор таких векторов образует базис данного пространства, и любой другой вектор можно разложить по базису (представить в виде линейной комбинации базисных векторов). Причём, это разложение единственно.

Размерность может быть конечна либо бесконечна.

Ярким примером конечномерного пространства является арифметическое пространство , и из школьных геометрических примеров («плоский» и пространственный базисы) интуитивно понятно, что (хотя, это, конечно, строго доказывается в теории). Как вы помните, любой вектор можно единственным образом разложить по координатным векторам: (плоскость), (пространство) и этот принцип легко сформулировать в общем виде:

векторы образуют базис в , и любой вектор сего пространства можно единственным способом разложить по этому базису: , где .

Пример бесконечномерного векторного пространства, не менее яркий – это множество многочленов одной переменной с базисом из бесконечного количества линейно независимых функций . Ежу понятно, любой многочлен можно разложить по такому базису, причём единственным образом:

…Существует ли пространство размерности ноль? Конечно. Это тривиальный конечный случай: нульмерное векторное пространство содержит единственный вектор – нулевой. Например, – множество, состоящее из нуля, – из нулевой матрицы «два на два»; множество, состоящее из тривиального решения однородной системы и так далее. Легко убедиться, что для этих множеств выполнены все постулаты линейного пространства.Самостоятельно домучиваем матрицы «два на три»:
Задание 2: записать базис линейного пространства , указать размерность пространства (с обоснованием) и разложить вектор по этому базису.

Образец для сверки в конце книги (после решения Примера 128).

Теперь вернёмся к определению базиса, перепишу его в человеческом виде:)

Базисом -мерного линейного пространства называют упорядоченный набор линейно независимых векторов.
Во-первых, обратим внимание на слово, которое я снова подчеркнул. Оно означает, что порядок базисных векторов имеет принципиальное значение, таким образом, и – это разные базисы (к примеру).

Во-вторых, в определении речь идёт об линейно независимых векторах, но ничего не сказано об их координатах. И спрашивается, а почему у векторов непременно должны быть стильные координаты с единицами? Вовсе не должны! Это могут быть и другие действительные числа – важно только, чтобы векторы были линейно независимы. Таким образом, базисов существует великое множество.

Хорошо, но тут возникает другой вопрос: а как определить – вот векторы и образуют базис или нет? Или векторы ? Такие задачи мы решали в курсе геометрии для двух- и трёхмерного случая, причём, даже не единственным способом, но сейчас я приведу лишь универсальный алгебраический критерий, обобщив его на «эн-мерный» случай: векторы -мерного пространства линейно независимы (а значит, образуют базис) тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, отличен от нуля:

Базис обычно обозначают перечислением его векторов в скобках:

Противоположно: векторы линейно зависимы и базиса НЕ образуют в том и только том случае, если определитель, составленный из их координат равен нулю. Набор таких векторов учитывает не все измерения -мерного пространства, поэтому далеко не каждый вектор пространства можно выразить через этот набор.

Так, для школьных векторов , :
, значит, эти векторы линейно независимы и образуют базис на плоскости. Как вы прекрасно знаете, любой «плоский» вектор можно разложить по этому базису, причём, единственным образом.

И для векторов «университетских»:

Пример 129

Проверить, образуют ли векторы , базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Если у Вас курс алгебры, то не нужно вкладывать в такие задачи геометрический (или какой-то другой) смысл. Понимайте условие максимально абстрактно: предложенные векторы – это просто упорядоченные наборы чисел арифметического пространства . Хотя, в условии даже и о пространстве ничего не сказано, а там могут быть свои тараканы.

Поэтому решение лучше оформить максимально лаконично, но тут ещё, конечно будут важные комментарии: вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис.

При этом координаты векторов лучше записывать в столбцы (а не в строки). Определитель от этого не изменится, а вот технической путаницы не будет.

Так как векторы образуют базис, то любой вектор данного пространства можно единственным образом разложить по этому базису. Представим вектор «бэ» в виде линейной комбинации базисных векторов:
, где – пока ещё неизвестные нам координаты вектора в базисе . Распишем линейную комбинацию покоординатно:
– в результате получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которую можно сразу записывать привычным образом:

Откуда берутся коэффициенты системы? Коэффициенты слева «снимаются» из определителя (см. выше), в котором координаты базисных векторов записаны в столбцы. И свободные члены справа – это, очевидно, координаты вектора «бэ».

Систему решим по формулам Крамера. Главный определитель уже рассчитан выше , значит, система имеет единственное решение (ну ещё бы, ведь разложение вектора по базису – единственно).

Остальное – дело небольшой, даже малой техники:

Устно проверяем, что найденные значения удовлетворяют каждому уравнению системы.

В результате: – разложение вектора по базису .

Ответ: – координаты вектора в этом базисе.

И вообще, любой вектор данного пространства можно однозначно разложить по базису . Таким образом, новый базис меняет «координатную сетку» пространства и координаты. Вот оно как. Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 130

Проверить, образуют ли следующие векторы базис, и найти координаты вектора в этом базисе:
а) , б) .

В образце система решена по формулам Крамера – в подобных задачах котируется именно этот метод. Видимо потому, что часто получаются дробные координаты. …Что делать, если векторы базиса не образуют? Просто записываем этот факт в ответ – на «нет» и разложения нет :)

Очевидно, некоторые базисы менее удобны, а некоторые – более удобны для восприятия и описания -мерного линейного пространства. Какой самый выгодный вариант? Чаще всего (но не всегда) это базис: , и к нему, да и не только, мы довольно скоро вернёмся.

6.3. Евклидово пространство. Длина и угол

6.1. Векторное (линейное) пространство. Так что же такое вектор?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин