Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

5.3. Метод Крамера

Который также называют правилом Крамера или формулами Крамера. Начнём со скромной системы двух уравнений с двумя неизвестными:

На первом шаге нужно вычислить главный определитель системы: .

Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить ещё два определителя:
и

Сразу улавливаем закономерность: столбец свободных членов подставляется в главный определитель сначала на 1-е место, затем на 2-е.

Корни уравнения находим по формулам:
,

Если главный определитель равен нулю , то система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. В этом случае используем другой подходящий метод.

Обозначения: помимо греческой буквы («дельта») определители также обозначают буквой . В качестве подстрочных индексов обычно использую названия переменных системы, так, если они обозначены через , то пишут .

И возникает вопрос: зачем использовать правило Крамера? Ведь простейшую систему можно решить «школьным» методом, методом почленного сложения….

Ну, во-первых, такое задание реально встречается на практике – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Кроме того, этот способ встречается в учебной литературе, и он не должен вас застать врасплох.

И, во-вторых, есть системы, которые удобно решить именно методом Крамера!

Пример 96

Решить систему линейных уравнений

Мы видим, что коэффициенты уравнений достаточно великИ, а в правой части присутствуют десятичные дроби. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, и этот пример я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть плохо. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь появится страх.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

Решение: систему решим по правилу Крамера. Вычислим главный определитель:
, значит, система имеет единственное решение.

Внимание! Когда вы используете данный метод, обязательно прописывайте этот фрагмент: «, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Ответ можно записать приближённо: , что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

И, конечно, проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 97

Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.

Это пример для самостоятельного решения и ещё одна иллюстрация – если корни дробные, то удобен именно метод Крамера, который позволит избежать промежуточных дробных вычислений. А, кстати, когда может возникнуть такая ситуация? Если вы проводите какое-то теоретическое или практическое исследование и получили систему, то с высочайшей вероятностью её решение будет дробным.

Тряхнём ~~стариной~~ комплексными числами:

Пример 98

Решить систему уравнений, ответ представить в алгебраической и показательной форме, изобразить корни на чертеже.

Решение: уже из условия можно предположить, что система имеет единственное решение, таким образом, нам нужно найти два числа , которые удовлетворяют каждому уравнению системы.

Систему можно решить «детским» способом, однако гораздо лучше использовать формулы Крамера. По причине чёткости алгоритма и меньшей путаницы.

Вычислим главный определитель системы:

, значит, система имеет единственное решение.

Не торопимся и прописываем шаги максимально подробно, ибо за комплексными числами нужен глаз да глаз:

Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень:

Аналогично:

Всё удачно сократилось, но, тем не менее, проверим решение. Подставим найденные значения в левую часть каждого уравнения системы:

– всё в порядке, получены соответствующие правые части.

Выполним чертёж:

Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы:

1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем:

Ответ:

Самостоятельно:

Пример 99

Решить систему уравнений , выполнить проверку. Найти произведение корней и записать результат в тригонометрической форме.

Запишем правило Крамера для системы трёх уравнений с тремя неизвестными:

Главный определитель системы состоит из коэффициентов левых частей – строго в том порядке, в котором они находятся в системе:

Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
, ,

Как видите, случай «три плюс три» принципиально ничем не отличается от случая «два плюс два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

И ответ тоже рассчитывается по аналогичным формулам:

С соточкой вас!

Пример 100

Решить систему по формулам Крамера.

Решение: вычислим главный определитель системы:

, значит, система имеет единственное решение.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, но вот затем будет о чём поговорить.

Понеслось:

Выполним (!) устную проверку и запишем

ответ: .

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например , и возникают сомнения – то ли это мы ошиблись, то ли это правда. В такой ситуации рекомендую следующий алгоритм проверки:

1) Если под рукой есть компьютер или гаджет, то просто забиваем коэффициенты системы в Матричный калькулятор (приложен к книге) и сверяемся. Как вариант, можно использовать онлайн калькулятор, к которому у Вас есть доверие.
Но что делать, если техники под рукой нет? И Сети тоже. Радуйтесь! Это отличная возможность отработать навыки:

2) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу проверьте, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

3) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то либо допущена опечатка в условии, либо так оно и было задумано. В любом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовик. Да, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато это будет обезоруживающий аргумент для рецензента, который ну очень любит ставить «–» за всякую бяку.

И ещё одно замечание. Время от времени встречаются системы, в уравнениях которых в явном виде отсутствуют некоторые переменные, например:

Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель: – на месте отсутствующих переменных ставятся нули. По понятной причине, ведь недостающие слагаемые, они реальны: .

Ну и, конечно, не забываем о «золотом» правиле ;-)

Пример 101

Решить систему по формулам Крамера.

Это пример для самостоятельного решения.

Для случая системы четырёх уравнений с четырьмя неизвестными формулы Крамера записываются по такому же принципу: главный определитель состоит из упорядоченных коэффициентов левой части, а во вспомогательных определителях столбец свободных членов последовательно «пробегает» слева направо. Такое задание встречается и вполне решабельно (понижением порядка определителя), хотя уже напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика.

5.4. Как решить систему с помощью обратной матрицы?

5.2. Метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин