Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

2. Комплексные числа

Продолжаем разрабатывать тему числовых множеств. И прежде чем мы перейдем к рассмотрению комплЕксных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить их «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвёртое измерение в нашем трёхмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число.

Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , а число – мнимой частью () комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: . Такую запись называют алгебраической формой комплексного числа.

И сразу отвечу на философский вопрос: зачем нужны комплексные числа? Всё очень просто. Эти числа появились исторически – в ходе развития математики, когда для решения некоторых задач стало не хватать действительных чисел.

Множество комплексных чисел обозначают стилизованной или жирной буквой и изображают комплексной плоскостью, которая состоит из начала координат, действительной оси и мнимой оси :

На всякий пожарный напомню культуру построения чертежей: чтобы задать размерность, достаточно указать ноль, единицу на действительной оси и мнимую единицу на мнимой оси. Не нужно проставлять значения «сплошняком»: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и . Ибо (повторю свою бородатую шутку), комплексная плоскость – не памятник Эйлеру, а студент – не голубь. Впрочем, комплексные числа ввёл в обиход вовсе не Эйлер, и мы возвращаемся в теме:

Каждой точке комплексной плоскости соответствует некоторое комплексное число и наоборот, каждому комплексному числу соответствует своя точка плоскости.

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять. Построим на комплексной плоскости следующие числа:
, ,
, ,
, , ,

По какому принципу отмечены числа, думаю, всем видно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете: «Да это же это обыкновенные действительные числа!». И будете правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел, и на действительной оси «сидят» все наши «обычные» числа. Таким образом, множество действительных чисел – это подмножество множества комплексных чисел .

Итак, числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью. В частности, начало координат – есть число .

Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не рисуют, по той причине, что они сливаются с осями.

На множестве комплексных чисел нет отношения порядка. Иными словами, комплексные числа невозможно сравнить другу с другом по принципу «больше / меньше» – для них такого понятия просто не существует. А вот понятие равенства есть: два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части соответственно.

2.1. Арифметические действия с комплексными числами

1.3. Понятие алгебраической структуры. Примеры

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин