Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

1.3. Понятие алгебраической структуры. Примеры

В этом небольшом параграфе я постараюсь заинтересовать читателя теоретической алгеброй, а если и нет – то Вы узнаете много важных и умных слов, которые неоднократно встретятся в будущем :) И начнём мы не с алгебраических структур, а ни много ни мало, со вселенских. Получится у меня не слишком научно, не слишком корректно, но для лучшего понимания – самое то. Итак, рассмотрим понятие структуры, которая характеризуется следующими атрибутами:

– непустое множество элементов;
– некое действие с элементами множества или какое-то их свойство;
– набор аксиом ( штук), которым удовлетворяет каждый элемент множества, а также заданная операция (либо свойство) .

В качестве примера рассмотрим структуру с условным называнием Объекты:
, где – произвольное непустое множество объектов окружающего мира, ^ – операция перемещения в пространстве; при этом каждый элемент множества удовлетворяет следующей аксиоме: Обладание массой.

Совершенно понятно, что этой структуре соответствует огромное количество множеств, поскольку во Вселенной двигается практически всё :) Важным моментом является тот факт, что вместо перемещения можно рассматривать и другие действия (либо свойства) в рамках этой структуры, например: @ – способность менять форму, # – способность менять агрегатное состояние (твёрдое тело / жидкость / газ) и так далее. Важно, чтобы во всех случаях была выполнена аксиома .

Теперь рассмотрим структуру, которую назовём Путешественники:
, где – непустое множество объектов окружающего мира, ^ – перемещение в пространстве, при этом все элементы множества удовлетворяют следующим аксиомам:
Обладание массой, Способность вернуться в исходную точку пространства.

Примеров здесь намного меньше, но всё равно много:
– исправный робот-пылесос (да, множество может состоять из 1 элемента);
– множество студентов аудитории (которые способны, например, выйти на перемену, а затем занять свои места);
– множество планет Солнечной системы, и так далее.

А вот множество брошенных камней или молекулы жидкости в реке уже не обладает структурой Путешественники.

Разумеется, на множестве может быть задано бОльшее количество операций, рассмотрим структуру Светила:
, где – непустое множество объектов окружающего мира, ^ – перемещение в пространстве, * – способность излучать свет, при этом каждый элемент множества должен удовлетворять следующим аксиомам: Обладание массой, – аксиомы, связанные с излучением света. Подумайте, какие есть примеры кроме Солнца!

И ключевой вопрос: зачем это всё нужно? Не только для классификации! Представьте, что мы изучаем некое множество и выяснили (проверили аксиомы), что оно обладает структурой Путешественники. Но эта структура уже исследована в теории вдоль и поперёк! Таким образом, мы сразу узнаЁм кучу характеристик и свойств этого множества!

…Надеюсь, у вас не взорвался мозг от моего творчества :) и хватит сил освоить алгебраические структуры. Такая структура состоит из тех же атрибутов:

– непустое множество элементов;
– бинарная операция с элементами множества;
– набор аксиом, которым удовлетворяют все элементы множества относительно заданной операции.

Что значит бинарная? Это операция, когда мы берём два элемента множества, применяем к ней эту самую операцию и получаем один элемент, который принадлежит тому же самому множеству. Так, операция логического отрицания бинарной не является, поскольку применяется к одному (а не к двум) элементам. Для множества натуральных чисел бинарно, в частности, сложение, ибо складывая два числа, мы получаем одно значение, причём непременно натуральное. А вот операция вычитания на множестве уже не бинарна, так как её результат – не обязательно натуральное число. Но зато вычитание – есть бинарная операция на множестве целых чисел.

Теперь я перечислю основные алгебраические структуры и приведу популярные примеры. Начнём с обширной структуры под называнием Полугруппа:

, где – непустое множество элементов, – бинарная операция на данном множестве, при этом выполнена аксиома ассоциативности операции:
– для любых элементов «а», «бэ», «цэ» (проговариваем вслух!!), принадлежащих множеству «аш», не имеет значения, в каком порядке будет выполнена цепочка операций: .

В школе это называется сочетательным свойством, и напрашивающиеся примеры:
– множество натуральных чисел относительно сложения. Совершенно понятно, что в любой сумме трёх натуральных чисел, без разницы, как мы расставим скобки: . Проверка:
слева и справа:

Результаты совпали, что и требовалось проверить. Да, алгебра тоже нещадно формальна! Как сказали бы древние римляне, Dura algebra sed algebra =)

– множество натуральных чисел относительно умножения – есть тоже, очевидно, полугруппа, ибо – для любых натуральных значений.

– множество слов (буквосочетаний) русского алфавита относительно операции – «склеивания». Самостоятельно придумайте три слова и «склейте» их так: и в таком порядке: . …Очень хочется привести яркий пример, но в голову приходит то пошлятина какая-то, то унылый «мосгортрест» :D

Несмотря на кажущуюся «естественность», свойство ассоциативности выполнено далеко не всегда:
– множество химических элементов относительно операции их соединения полугруппой не является, так как в общем случае . Совершенно понятно, что в результате реакции может получиться один химический элемент, а в результате – совершенно другой. Вплоть до того, что в левой цепочке реакций получится по итогу конфетка, а в правой – яд.

Следующая структура – группа:
, где – непустое множество элементов, – бинарная операция на данном множестве, для всех элементов которого выполнены следующие три аксиомы:

  – ассоциативность операции, то есть любая группа является и полугруппой;
  – существование нейтрального элемента, принадлежащего группе, такого, что ;
  – существования обратного элемента, такого, что ,
и если, кроме того, выполнена аксиома коммутативности операции:

то группу называют коммутативной или абелевой группой.

Причём равенства во 2-й и 3-й аксиомах – это не пустая формальность, существуют алгебраические структуры, где они не выполняются. Аналогично аксиома 4 – хоть и кажется «незыблемой», но есть структуры, где она не работает, и с некоторыми некоммутативными группами мы встретимся в настоящем курсе.

Пример: – множество целых чисел относительно сложения является коммутативной группой, с нейтральным элементом – нулём: , а роль обратного элемента играет противоположное число: .

Другой пример группы: – множество рациональных чисел без нуля относительно умножения. Здесь нейтральный элемент – единица: и обратный элемент , для которого, очевидно, справедливо .

Существует великое множество групп с конечным количеством элементов, тривиальные образцы: – множество, состоящее из одного нуля, относительно операции сложения; – множество из «плюс» и «минус» единицы относительно умножения.

Аксиомы проверьте самостоятельно!

И важный факт: элементы множества не обязаны быть числами, это могут быть векторы, матрицы, многочлены, функции, геометрические фигуры, а то и вовсе нематематические объекты, как в примерах с полугруппами. С другой стороны, и операция – не обязательно арифметическая, в частности, это может быть некоторое функциональное или геометрическое преобразование. Важно, чтобы выполнялись аксиомы группы! Даже некоторые игры имеют структуру группы.

Хорошо знакомыми примерам групп является следующие: – множество двумерных векторов относительно сложения и – и множество трёхмерных векторов относительно той же операции. …Скорее всего, вам пришли в голову геометрические векторы, но на самом деле это понятие шире, и позже я познакомлю вас с общим алгебраическим определением вектора. Ну а сейчас маленькое задание для неофитов теории:

Задача 3

Доказать, что множество векторов с действительными координатами – есть группа относительно сложения.

Следующая структура – кольцо:
– есть множество , на котором определены операции сложения и умножения и для всех элементов выполнены следующие аксиомы:

  – – ассоциативность сложения;
  – существование нейтрального элемента («нуля») относительно сложения: .
Для любого элемента кольца   – существует противоположный (обратный относительно сложения) элемент: ;
  – коммутативность сложения.
Таким образом, кольцо является абелевой группой относительно сложения, но это ещё не всё:
  – ассоциативность умножения;
Свойства дистрибутивности:

Попросту говоря, это раскрытие скобок. И многие кольца (а это уже кольцо) обладают нейтральным элементом относительно умножения («единицей»):

а также
  коммутативностью умножения.

«Эталонный» пример: множество целых чисел – есть коммутативное (относительно умножения) кольцо с единицей. А вот множество чётных целых чисел – тоже коммутативное кольцо, но уже без единицы.

Следует заметить, что структура кольцо – это уже ярко «арифметическая» структура (по сравнению с предыдущими), однако элементы кольца могут быть не только числами, но и другими объектами, которые тоже можно складывать и умножать, правда, специфичным образом. Там существуют свои особые нулевые и единичные элементы, именно поэтому я заключил в скобки «ноль» и «единицу» при перечислении аксиом. И примеры таких колец будут в книге!

Далее, и, наконец. Если к аксиомам кольца добавить ещё одну:
– существование обратного элемента относительно умножения, для всех ненулевых элементов множества: ,
то получится алгебраическая структура под названием поле:

«Классические» примеры: поле рациональных чисел, поле действительных чисел и прямо сейчас мы переходим на поле комплексных чисел.

Надеюсь, я кого-то заинтересовал теоретической алгеброй, и вы уже почувствовали её леденящий холодок :) Желающие могут найти тонны литературы по самым разным аспектам предмета, в том числе структурам (коих гораздо больше, и не только алгебраических), ну а мы начинаем нарабатывать практику

2. Комплексные числа

1.2.8. Эквиваленция. Необходимое и достаточное условие

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин