1.1.2. Числовые множества

Как известно, сначала люди освоили натуральные числа – для подсчёта материальных объектов (людей, коней, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретились выше, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт:
, иногда к множеству натуральных чисел относят ноль.

Если к множеству присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел:
, рационализаторы и лентяи любят использовать значки «плюс минус»:

Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел:
– по той причине, что каждый элемент множества принадлежит множеству . Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом.

Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел:
– то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.

Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел:

И в самом деле – любое целое число можно представить в виде рациональной дроби , например: и т. д. Таким образом, целое число можно совершенно «законно» назвать и рациональным числом.

Характерным «опознавательным» признаком рационального числа является то обстоятельство, что при делении числителя на знаменатель получается либо
– целое число, либо
– конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая десятичная дробь:

(повтор может начаться не сразу).

И важнейшая мантра:

В высшей математике все действия стремимся выполнять
в обыкновенных (правильных и неправильных) дробях.

Согласитесь, что иметь дело с дробью значительно удобнее, чем с десятичным числом 0,375 (не говоря уже о бесконечных дробях).

Едем дальше. Помимо рациональных, существует множество иррациональных чисел, каждое из которых представимо в виде бесконечной НЕпериодической десятичной дроби. Иными словами, в «бесконечных хвостах» иррациональных чисел нет никакой закономерности:
(«год рождения Льва Толстого» дважды)
и т. д.

О знаменитых константах «пи» и «е» информации предостаточно, поэтому на них я не останавливаюсь.

Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел:

– значок объединения множеств.

Геометрическая интерпретация множества вам хорошо знакома – это числовая прямая:

Каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот – каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. Это есть свойство непрерывности действительных чисел, которое хоть и кажется очевидным, но строго доказывается в курсе математического анализа

Числовую прямую также обозначают бесконечным интервалом , а запись или эквивалентная ей запись символизирует тот факт, что принадлежит множеству действительных чисел (или попросту «икс» – действительное число).

С вложениями всё прозрачно: множество рациональных чисел – это подмножество множества действительных чисел:
, таким образом, числа всех «предыдущих» множеств можно смело назвать и действительными числами.

Множество иррациональных чисел – это тоже подмножество действительных чисел:

При этом подмножества и не пересекаются – то есть ни одно иррациональное число невозможно представить в виде рациональной дроби .
Существуют ли какие-нибудь другие числовые множества? Существуют! Это, например, комплексные числа, с которыми мы ознакомимся буквально в ближайшие часы.

1.1.3. Мощность множества

1.1.1. Подмножества

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин