Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

1.1.4. Операции (действия) с множествами

1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И (разберём чуть позже) и обозначается значком .

Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству и множеству . Проще говоря, пересечение – это общая часть множеств:

Схематическое изображение операции с множеством называется диаграммой Венна и перед вами одна из них.

Так, пересечение множеств – есть множество:

Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств:

, при этом множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами.

Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, например, для трёх. Обозначим через – множество заглавных букв русского алфавита, – множество заглавных букв латинского алфавита и – множество больших букв греческого алфавита. Пересечение этих множеств – есть множество:
– элементы сего множества принадлежат и множеству , и множеству , и множеству .
…Какое-то получилось страшилище «АВЕНМОРТХ» :), но это я не ради шутки. Элементы множества желательно располагать в порядке их возрастания (если это возможно). Так мне легче будет проверять ваши решения ;) Следующая операция:

2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком

Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству :

Запишем объединение множеств :
– тут нужно перечислить все элементы множеств , причём одинаковые элементы (единицу на пересечении множеств) следует указать один раз.

Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами: . В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга.

Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если , то:
, просто и со вкусом.

3) Разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :

Разность читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества . Чтобы записать разность , нужно из множества «выбросить» все элементы, которые есть во множестве :

Пример с числовыми множествами:
– здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных».

Зеркально: разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству :

Для тех же множеств
– из множества «выброшено» то, что есть во множестве .

А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется :)

Кроме того, иногда рассматривают симметрическую разность , которая объединяет оба «полумесяца»:
– иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств». Диаграмму Венна изобразите самостоятельно.

4) Декартовым (прямым) произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых элемент , а элемент .

Слово «упорядоченных» означает, что элемент, находящийся на первом месте обязательно принадлежит множеству , а второй элемент – строго множеству .

Запишем декартово произведение множеств :
– перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества последовательно присоединяем каждый элемент множества , затем ко 2-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества , и, наконец, к 3-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества »:

Зеркально: декартовым произведением множеств и называется множество всех упорядоченных пар , в которых . В нашем примере:
– здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества «а большое» и затем к «дэ» – те же самые элементы:

И гвоздь программы: декартово произведение – есть не что иное, как множество точек нашей родной декартовой системы координат . …Все помнят такую? …Её забыть трудно. Но некоторые умудряются!

А теперь пришла пора поразмяться вам, а то Вольдемар уже задремал на задней парте :) Задание для закрепления материала:

Задача 1

1) Записать все подмножества множества
2) Является ли пустое множество подмножеством пустого множества?
3) Выполнить операции , если:
а) ;
б)
и пунктик с промежутками действительных чисел:
с) .

Напоминаю, что квадратная скобка означает включение числа в промежуток, а круглая – его невключение, то есть «минус единица» принадлежит множеству , а «тройка» не принадлежит множеству . Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если появится туман, выполните чертёж ;)

Решаем самостоятельно!
Проверю всех!
Образец для сверки в конце книги

1.1.5. Отображение множеств

1.1.3. Мощность множества

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин