Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6. Векторные пространства и линейные преобразования

Я так чувствую, вы соскучилась по теории, и поэтому в начале этой главы познакомимся с ещё одной, важнейшей алгебраической структурой и одним из центральных понятий математики:

6.1. Векторное (линейное) пространство. Так что же такое вектор?

До сих пор многие из вас представляют векторы лишь в их геометрическом смысле, но на самом деле это понятие гораздо шире.

Рассмотрим непустое множество , для всех элементов которого определена операция сложения и операция умножения на – элемент поля (чаще всего действительное число). При этом результаты операций: и – тоже принадлежат множеству . …Всё понятно? ;) Вдумчиво перечитайте ещё раз!

Чтобы не путаться, элементы множества будем обозначать жирными буквами, а скаляры поля (числа) – нежирными и для надёжности ещё и греческими :).

Пусть для всех элементов множества и всех элементов поля выполнены следующие аксиомы:

– ассоциативность сложения;

– существование нейтрального элемента («нуля») относительно сложения ;

– существования обратного элемента относительно сложения, то есть противоположного элемента, такого, что ;

– коммутативность сложения.

Заметьте, что это уже абелева группа. И кроме того:

– ассоциативность умножения на скаляр;

– унитарность (умножение на единицу поля сохраняет элемент );

– дистрибутивность относительно суммы скаляров;

– дистрибутивность относительно суммы элементов множества .

Тогда (барабанная дробь!): множество называют линейным или векторным пространством над полем , а элементы множества – векторами.

Кратко сия алгебраическая структура обозначается через , а векторы – либо с привычными черточками наверху либо жирными латинскими буквами (характерно для литературы), дабы отличать их от других объектов.

Запишем известные нам геометрические векторные пространства:

– множество двумерных векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число;

– аналогичное множество трёхмерных векторов нашего пространства.

Самостоятельно убедИтесь в справедливости вышеизложенных утверждений и выполнении всех аксиом векторого пространства (проще всего, координатным методом).

Но геометрические векторы – это лишь частный случай! Существует много векторных пространств, не имеющих отношения к геометрии! ВажнО лишь формальное выполнение определения (в том числе аксиом) векторного пространства – и тогда рассматриваемое множество будет векторным пространством, а его элементы – векторами. Даже если это множество медведей на велосипеде. Но давайте начнём с мАлого :).

Прежде всего, Задание: кратко сформулируйте определение векторного пространства над полем действительных чисел. А то я меня как-то получилось длинно:)

Выполняем письменно! – и заметьте, это уже не общее определение, здесь есть конкретика ;) Свериться можно в конце книги (после решения Примера 128), и далее по умолчанию (если не сказано иного) будем рассматривать именно такие пространства.

И, конечно же, другие примеры! Их тьма, но я выберу самый свет :)

Рассмотрим упорядоченную строку (или столбец, не принципиально) произвольных действительных чисел . Множество таких строк с заданной операцией их сложения и умножения на вещественное число образует так называемое арифметическое векторное пространство (читается «эр эн»). Объект является вектором пространства , а числа – его координатами. Нейтральный элемент пространства – есть нулевой вектор .

В частности, если , то… получается множество действительных чисел , которое оказывается векторным пространством! То есть вещественные числа можно считать одномерными векторами. При , пространство «эр эн» тоже имеет геометрический смысл – известные нам «плоские» и пространственные векторы. Но, разумеется, числа в строках (либо столбцах) могут иметь самый разный смысл, вне зависимости от .

Пример по горячим следам: множество частных решений системы однородных линейных уравнений (какой-то конкретной) образует векторное пространство. Так, в Примере 117 мы получили множество частных решений (свободная переменная принимает все действительные значения). А, кстати, почему это векторное пространство? Ведь не всё так очевидно….

Во-первых, данное множество замкнуто относительно операции сложения и умножения на число. А именно, если сложить любые два частных решения, то в результате обязательно получится частное решение. И если любое частное решение умножить на произвольное вещественное число, то тоже – непременно получится частное решение данной системы. Предлагаю Вам строго обосновать эти факты (подсказка: подставьте сумму двух частных решений в левую часть каждого уравнения системы (Пример 117)).

И во-вторых, для множества выполнены 8 аксиом линейного пространства – убедИтесь в этом опять же самостоятельно.

Вывод: – векторное пространство, и здесь мы сталкиваемся ещё с одним понятием. Это пространство является подпространством арифметического пространства . Ну ещё бы – ведь множество содержит лишь некоторые строки из трёх чисел.

Однако строже: непустое множество называется векторным подпространством векторного пространства , если все элементы (в том числе нулевой) содержатся в , и операции с ними замкнуты в «эль»: и .

Давайте теперь уберём знаки препинания:

Что получилось? Получилась матрица «один на эн» или попросту строка. Множество строк фиксированной длины «эн» образует векторное пространство. И в самом деле – вспОмните правило сложения матриц и умножения матрицы на число. Аналогичное утверждение, разумеется, справедливо и для столбцов. По этой причине такие матрицы иногда называют вектором-строкой и вектор-столбцом.

И вообще, множество матриц фиксированного размера «эм на эн» образует векторное пространство. Рекомендую взять конкретный размер, например, «два на три» и убедиться в замкнутости операций (впрочем, это очевидно) и выполнении 8 аксиом линейного пространства. Кстати, первые четыре мы уже проверили.

Так вот оно как! – оказывается, матрицы – это тоже векторы!

И множество всех многочленов одной переменной – тоже векторное пространство! Проверьте данный факт самостоятельно. Можно взять какие-то конкретные многочлены и выполнить «прикидку», а можно выполнить проверку в общем виде, с этим кретиативным занятием я вас на всякий случай немного познакомил :)

Однако всегда нужно следить за контекстом. Так, множество многочленов 7-й (например) степени не образует векторное пространство. Почему? По той причине, что не всегда выполнена замкнутость сложения. Если, скажем, к многочлену прибавить , то получится многочлен – третьей степени. Но, по определению векторного пространства (см. начало), сумма обязательно должна принадлежать тому же множеству. А вот если сказать «множество многочленов степени, мЕньшей семи» – то это уже линейное пространство. И многочлены 7-й степени сюда не входят!

Поэтому будьте внимательны! Пытливые преподаватели – пытать вас будут (^ ^)

Рассмотрим множество функций одной переменной, которые определены и непрерывны на всей числовой прямой (на ). …Интуитивное понятие непрерывности, думаю, всем понятно: функция непрерывна на некотором промежутке, если её график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Кстати, давайте, ещё раз взглянем в Приложение К задаче 2 и вспомним, какие из элементарных функций непрерывны всюду. После чего вернёмся к теме и обозначим множество таких функций через .

По соответствующей теореме математического анализа, сумма двух непрерывных функций – есть функция непрерывная, и, очевидно, функция тоже непрерывна. То есть множество замкнуто относительно этих операций. Опираясь на теоретические выкладки матана и очевидные факты, нетрудно убедиться в справедливости 8 аксиом векторного пространства, где нулевой элемент – есть функция (ось ), а противоположный – со знАком минус, ака и .

Вывод: – векторное пространство. К слову, навеял тут «икс квадрат»: множество функций-многочленов – есть линейное подпространство пространства .

Вместо числовой прямой можно рассмотреть конкретный отрезок, и множество функций , непрерывных на данном отрезке – это тоже векторное пространство. Заметьте, что функций здесь прибавится, ибо тангенсы, логарифмы и иже с ними грешники – вполне себе непрерывны на многих отрезках.

Вот такие вот бывают векторы, о которых многие из вас даже не подозревали!

6.2. Основные понятия векторного пространства

5.11. Как найти обратную матрицу методом элементарных преобразований?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин