5.9. Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например:

Совершенно понятно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. …А всем ли, кстати, совершенно, и всем ли понятно? Прежде всего, в глаза бросается тривиальное решение . Нулевое решение, очевидно, есть у любой однородной системы, и возникает вопрос: а есть ли решения ещё?

Пример 115

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение: используем метод Гаусса. Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость рисовать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.
(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
Делить третью строку на 3 особого смысла нет.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, можно сразу записать

ответ:

Повторяем самостоятельно:

Пример 116

Решить однородную систему линейных уравнений

В обоих примерах ранг матрицы системы (три) равен количеству переменных ( – 3 шт.), значит, по теореме Кронекера-Капелли, нулевое решение единственно. Но всегда ли это так?

Пример 117

Решить однородную систему линейных уравнений

Решение: как мы видим, тривиальное решение никуда не убежало, однако есть ли решения ещё? Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие (1) направлено не только на получение единичного значения слева вверху, но и на уменьшение чисел в матрице – это ещё один технический приём, который реально спасает:

1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. На первой «ступеньке» у нас находится единица с «минусом», что зачастую удобнее для дальнейших преобразований.
(2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, решение не «подгонял» – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
(4) У первой строки сменили знак (умножили на –1).

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:
и обратный ход работает точно так же, как и для «обычных» систем. Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, а переменная , которой не досталось «ступеньки» – свободная.

Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Ответ: общее решение:

Нулевое решение входит в общую формулу при , и записывать его отдельно излишне. Придавая свободной переменной другие значения, можно получить бесконечно много частных решений. Заметьте, что все они будут пропорциональны друг другу. И любителям теории я предлагаю проверить следующий факт: множество решений однородного уравнения образует группу относительно сложения.

Проверка выполняется по обычной схеме: полученное общее решение нужно подставить в левую часть каждого уравнения системы, тут это просто и приятно:

В результате получены законные нули, и мы счастливы.

И на этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме, с помощью так называемой фундаментальной системы решений.

5.9.1. Фундаментальная система решений однородной системы

5.8. Системы с бесконечным количеством решений

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин