Ваш репетитор, справочник и друг!
|
5.9.1. Фундаментальная система решений однородной системыПожалуйста, забудьте о геометрии, поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в их общем алгебраическом смысле, к которому мы почти подобрались…. Ничего страшного, если что-то покажется не очень понятным, скоро во всём разберёмся! Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов Количество векторов Однако в практических задачах гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество Представим общее решение Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из единственного слагаемого. Общее решение однородной системы обозначим через вектор Это так называемый нормальный способ построения фундаментальной системы – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому можно взять Тогда ответ запишется в эквивалентной форме: Оба варианта ответа корректны, однако «чайникам» я всё-таки рекомендую классику жанра – нормальность (единичные значения свободных переменных). И я доверяю Вам более масштабную систему: Пример 118 Решить однородную систему линейных уравнений Ответ записать с помощью фундаментальной системы решений. Разумеется, ф / с может содержать бОльшее количество векторов: Пример 119 Найти общее решение однородного уравнения и записать ответ в векторной форме Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём ее к ступенчатому виду: Понятно, что Таким образом, общее решение: Не забываем о проверке! – для этого нужно подставить выражения базисных переменных Найдем векторы фундаментальной системы решений. Для этого последовательно выбираем напрашивающиеся пары значений свободных переменных: Обращаю внимание, что векторы фундаментальной системы линейно независимы, поэтому нас устраивают далеко не все пары значений. А именно, не годятся пропорциональные пары, например, Ответ: общее решение: Теперь коснёмся следующего интересного вопроса:
Автор: Aлeксaндр Eмeлин |
|