5.9.2. Выбор базисных переменных

До сих пор в качестве базисных переменных мы выбирали те, которые «сидят на ступеньках». Так, в горячем примере была получена ступенчатая матрица и выбраны базисные переменные .

И возникает вопрос: это единственный вариант? Нет!

Чем, собственно, хуже «перевёрнутая лестница»? Давайте к первой строке прибавим вторую: . Впрочем, это скорее лестница нормальная, а перевёрнутой была та :)

Таким образом, – базисные переменные, а – свободные. Обратный ход работает тоже наоборот – сверху вниз. Из первого уравнения выразим и подставим во второе уравнение :

Проверьте, что – тоже общее решение Примера 119!

Но ещё более приятная картинка получится, если мы запишем систему:

…Так что же мешает выбрать в качестве базисных переменные и ? Ничто и никто! Они тут как на блюдечке с голубой каёмочкой – почти уже выражены через свободные, осталось только перекинуть слагаемые: и .

Таким образом, общее решение: – убедИтесь в этом!

Немного поколдовав над матрицей, можно выразить иные пары базисных переменных, всего здесь будет 6 вариантов. И практический ориентир выбора базисной переменной таков: если в столбце матрицы системы находятся нули, за исключением одной ячейки, то соответствующую переменную можно выбрать в качестве базисной, при условии, что в строке с ненулевой ячейкой ещё не выбрана базисная переменная.

Однако практика не всегда щедрА на подарки, поэтому надёжнее придерживаться стандартных «ступенек», особенно, если Вы новичок. Самостоятельно:

Пример 120

Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме.

В образце решения я применил стандартный алгоритм. Здесь фундаментальная система содержит три вектора, которые проще всего найти, используя следующие тройки значений свободных переменных: , далее и, наконец, .

И пара творческих заданий:
1) подберИте такие тройки значений свободных переменных, чтобы векторы фундаментальной системы имели целые координаты;
2) выберите другие базисные переменные, чтобы общее решение получилось более простым (если это возможно) и запишите его в векторной форме.

Очевидно, принципы выбора базисных переменных справедливы не только для однородных, но и для «обычных» неоднородных систем с общим решением. Между которыми что-то, да должно ещё быть….

5.9.3. Взаимосвязь решений неоднородной и однородной системы

5.9.1. Фундаментальная система решений однородной системы

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин