Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

5.8. Системы с бесконечным количеством решений

– очень частый гость на практике, наряду со случаем единственного решения.

И в качестве иллюстрации сразу решим систему под пунктом «в» (Пример 111):

На первый взгляд тут всё «стандартно» (4 уравнения и 4 неизвестные), но это не даёт нам никакой информации о совместности системы и количестве решений.

Используем метод Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1.
(2) Последние три строки пропорциональны, две из них удаляем.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной матрица системы и расширенная матрица .

Обе матрицы имеют ступенчатый вид и в каждой из них две строки.

Вывод: , значит, по теореме Кронекера-Капелли, система совместна. Поскольку ранг меньше количества переменных ( – 4 шт.), то система имеет бесконечно много решений.

Осталось только найти это множество решений. Не откажем себе в удовольствии выделить простым карандашом «лестницу» и «ступеньки» полученной матрицы:
,
которой соответствует следующая система уравнений:

Бесконечное множество решений коротко записывают в виде так называемого общего решения системы. Как найти общее решение? С помощью того же обратного хода метода Гаусса, правда, с некоторой спецификой

Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными, а какие переменные – свободными.

Базисные переменные «сидят» на ступеньках матрицы.

А посему базисными являются переменные и (см. рисунок выше – соответствующие коэффициенты обведены зелёным цветом).

Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные.

Теперь нужно ВСЕ базисные переменные выразить только через свободные переменные.

Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх:
из второго уравнения системы выражаем базисную переменную :

Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала подставим в него найденное выражение :

Осталось выразить базисную переменную через свободные переменные :

В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( и ) выражены только через свободные переменные :

Собственно, общее решение готово:

Как правильно записать общее решение?

Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные следует записать на второй и четвертой позиции:
.
Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции:

Из общего решения системы можно найти бесконечно много частных решений. Это очень просто. Дело в том, что свободным переменным, в нашем примере , можно придавать любые действительные значения. Самыми популярными кандидатами являются нули, поскольку частное решение получается легче всего.

Подставим в общее решение :
– получено частное решение.

Другая сладкая парочка – единицы, подставим в общее решение:
– ещё одно частное решение.

Легко понять, что система имеет бесконечно много частных решений, а это значит, что каждое частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы.

На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение и устно подставьте его в левую часть каждого уравнения:

…Есть? Всё должно сойтись. И с любым полученным частным решением – тоже всё должно сойтись. Но это всё-таки не внушает доверия.

Более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ?

Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы. В левую часть первого уравнения системы:
– получена правая часть.
В левую часть второго уравнения системы:
– правая часть.
И далее – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Это дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения.

Кроме того, в некоторых заданиях требуют проверку общего решения:

Пример 112

Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Это пример для самостоятельного решения. И еще пара задач для отработки алгоритмов, не пропускаем!

Пример 113

Доказать, что система совместна и имеет бесконечно много решений. Записать общее решение и два частных. Выполнить проверку.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко 2-й строке прибавляем 1-ю строку. К 3-й строке прибавляем 1-ю строку, умноженную на 2. К 4-й строке прибавляем 1-ю строку, умноженную на 3.
(2) К 3-й строке прибавляем 2-ю строку, умноженную на –5. К 4-й строке прибавляем 2-ю строку, умноженную на –7.
(3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем.

В результате преобразований получена эквивалентная исходной матрица системы и расширенная матрица системы .

Обе матрицы имеют ступенчатый вид и три строки, и, по теореме Кронекера-Капелли, система совместна. Так как число неизвестных (4 штуки) больше ранга , то она имеет бесконечно много решений, что и требовалось доказать.

Выполним пометки карандашом:

и найдём общее решение. Базисные переменные «сидят на ступеньках», и абсолютно понятно, что – это базисные переменные. Свободная переменная, которой не досталось ступеньки, здесь всего одна:

Запишем для удобства ступенчатую систему:

и выполним обратный ход, чтобы выразить базисные переменные через свободную.

Из третьего уравнения:

Теперь берём второе уравнение и подставляем в него найденное выражение :

Рассмотрим первое уравнение и подставим в него найденные выражения и :

В ходе вычислений удобно использовать Калькулятор обыкновенных дробей, который я на всякий случай тоже приложил к книге.

Итак, общее решение:

Ещё раз, как оно получилось? Свободная переменная одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения базисных переменных , и тоже заняли свои порядковые места.

Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =)

Подставляем трофеи , , в левую часть каждого уравнения системы:

В результате получены правые части соответствующих уравнений, таким образом, общее решение найдено правильно.

Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Свободная переменная здесь одна, и голову ломать не нужно:
– пусть , тогда – частное решение.
– пусть , тогда – частное решение.

Ответ: система совместна по теореме Кронекера-Капелли, общее решение:
, частные решения: ,

Отрабатываем технику вычислений:

Пример 114

Решить систему линейных уравнений.

Обратите внимание, что условие сформулировано максимально свободно, выбор метода решения – это ваш выбор, и проверять / не проверять – тоже ваш ;) …Зря я тут про негров вспомнил, теперь в голову полезли всякие садистские мотивы, и вспомнилась фотожаба, где куклуксклановцы в белых балахонах бегут по футбольному полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает….

Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в недавних примерах.

В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции.

Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных. Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и… может иметь единственное решение! Снабдим систему с единственным решением пропорциональным уравнением, и вуаля, пациент: .

Да, ещё стандартные сокращения, совсем забыл, они в ходу не только в алгебре:

о / р – общее решение, ч / р – частное решение.

Теперь познакомимся с достаточно популярным частным случаем СЛУ:

5.9. Однородные системы линейных уравнений

5.7. Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин