Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

5.5. Метод последовательного исключения неизвестных (Гаусса)

Или метод Гаусса. На самом деле мы уже решали систему методом исключения неизвестных («школьный» метод), но сейчас в этом процессе появится закономерность и своя техника вычислений. А именно, нам понадобятся элементарные преобразования строк, поэтому если Вы по каким-то причинам пропустили этот параграф, то обязательно наверстайте упущенное!

Вернёмся к системе (Пример 90) и решим ее методом Гаусса.

Сначала нужно записать расширенную матрицу системы:

По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка: рекомендую сразу запомнить термины. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, её нужно привести к ступенчатому виду. Как? С помощью элементарных преобразований строк. А почему это возможно? Элементарные преобразования не меняют множество решений системы!

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду, слева внизу нужно получить ноль. Для этого ко 2-й строке прибавим 1-ю, умноженную (МЫСЛЕННО либо на черновике) на –2. Напоминаю, что строка, которую мысленно умножают и прибавляют, остаётся неизменной, и если расписывать ход мыслей пошагово, то он таков:
«Переписываю матрицу и первую строку: »
«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Для этого единицу вверху умножаю на «минус два»: и ко второй строке прибавляю произведение: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »
«Теперь второй столбец. Вверху –1 тоже умножаю на «минус два»: и ко второй строке прибавляю произведение: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »
«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на «минус два»: и ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Чистовое решение может выглядеть примерно так: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2.
(2) Вторую строку разделили на 3.

При оформлении задачи от руки «лестницу» и «ступеньки» прямо так и отмечают простым карандашом:

Итак, что же произошло? В результате элементарных преобразований мы перешли от исходной системы к эквивалентной системе .

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него известное значение «игрек»:

Ответ:

Теперь разберём «классическое» задание, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 104

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Решение: запишем расширенную матрицу системы:

и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду.

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Почти всегда здесь должна находиться единица либо минус единица. Как это организовать? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть!

Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

И первая строка у нас останется неизменной до конца решения.
Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Для этого первую строку мысленно либо на черновике умножаем на «минус два»: (–2, –4, 2, –18) и ко 2-й строке прибавляем 1-ю, умноженную на –2 (смотрим и считаем снизу вверх):

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на «минус три»: (–3, –6, 3, –27), и
к 3-й строке прибавляем 1-ю строку, умноженную на –3 (смотрим и считаем снизу вверх):

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняют последовательно (см. «пошаговый ход мыслей» выше), чаще всего устно, а результаты записывают в единую матрицу:

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5. Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе «ступенизации» нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к 3-й строке прибавляем 2-ю строку, умноженную (мысленно либо на черновике) на –2:

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Круто. Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом: .

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым: , откуда следует:

Ответ:

Не забываем выполнить устную либо письменную проверку!

Пример 105

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения.

Усложним задачу:

Пример 106

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём ее к ступенчатому виду.

Легко сказать…. Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица либо минус один. Но проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так:

(1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась:

Теперь слева вверху –1, и дальше алгоритм работает по накатанной колее:
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.
(3) Первую строку умножили на –1 (для красоты). У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.
(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.
(5) Третью строку разделили на 3.

Заряжаем обратный ход. В оформлении примеров часто не пишут полученную эквивалентную систему, а уравнения «берут» прямо из приведённой (ступенчатой) матрицы. Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Выполняем устную проверку и записываем

ответ: .

Следующая система для самостоятельного решения, она несколько сложнее.

Пример 107

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Ничего страшного, если поплутаете немного :) Ваше решение может не совпасть с образцом, и это очевидная особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми! Ибо элементарные преобразования не меняют корни.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если у вас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой вероятностью допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

И в заключение параграфа рассмотрим некоторые особенности алгоритма.

Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например:

В этом случае в расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули:

Будьте ВНИМАТЕЛЬНЫ!

Кстати, это довольно лёгкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? Конечно. Любые. Только вот в ходе вычислений нарисуются дроби (почти всегда), а оно вам надо? Однако в ряде случаев годятся и другие числа, рассмотрим, например, такую систему:

Здесь на левой верхней «ступеньке» двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. Поэтому двойка нас устроит! И на первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или другой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Нужно провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Иногда в системе могут изначально присутствовать дроби, даже десятичные:

и от них, конечно же, следует избавляться. Просто умножаем вторую строку на 2:

Метод Гаусса универсален, и работает для любой системы линейных уравнений, сколько в ней ни было переменных, уравнений, решений, и даже если решений вовсе нет. Но есть одна особенность…

…Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, нужно «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного. А посему сделаем ещё один шаг в правильном направлении:

Пример 108

Решить систему методом последовательного исключения неизвестных

Тренируемся, сверяемся с ответом и продолжаем.

До сих пор мы рассматривали системы, которые имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом или только что разобранным методом Гаусса. Однако на практике встречаются ещё два случая:
– система несовместна (не имеет решений);
– система имеет бесконечно много решений.

И для этих случаев срабатывают далеко не все методы решения. Кроме того, мы ведь заранее не знаем, сколько решений имеет та или иная система, и имеет ли их вообще. В этой связи по умолчанию (если в условии не сказано иного) стараются использовать наиболее универсальный – метод Гаусса.

5.6. Несовместные системы

5.4. Как решить систему с помощью обратной матрицы?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин