5.6. Несовместные системы

Разберём особенности этого случая в конкретных задачах:

Пример 109

Решить систему линейных уравнений

Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – оно меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то можно сразу сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить безотказным методом Гаусса.

Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Сами элементарные преобразования – точно такие же, разница будет в концовке решения:

(1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: к первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1.
(2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5.
(3) После выполненных преобразований всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3.
(4) К третьей строке прибавляем вторую строку.

Ну и, наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу обратно в систему: . Нижняя строка представляет собой неверное числовое равенство, что сигнализирует о несовместности системы.

Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где – число, отличное от нуля, то система не имеет решений.

Как записать концовку задания? Можно так и записать: «в результате элементарных преобразований получена строка вида , где » и дать ответ: система не имеет решений.

Разумеется, здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса, по той причине, что решения отсутствуют, и находить попросту нечего.

Тренируемся самостоятельно:

Пример 110

Решить систему уравнений

Несмотря на то, что система имеет «правильный» формат (количество уравнений равно количеству неизвестных), это ещё ничего не значит. Тут возможны все варианты: либо решений нет, либо оно единственно, либо их бесконечно много. Условие не требует от нас использовать какой-то конкретный метод решения, и в таких ситуациях, конечно же, лучше применить метод Гаусса. Свериться с образцом можно в конце книги. И вновь напомню, что ваш ход решения может отличаться от моего, ибо у алгоритма Гаусса нет «жёсткости».

Ещё одна техническая особенность решения состоит в том, что элементарные преобразования можно прекращать сразу же, как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица ещё не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет надобности, так как появилась строка вида , где . Можно сразу дать ответ, что система несовместна.

Однако существует более строгое обоснование совместности / несовместности системы, и если того требует условие задачи и / или Ваш рецензент, то решение следует оформить в более солидном ключе:

5.7. Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?

5.5. Метод последовательного исключения неизвестных (Гаусса)

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин