5.7. Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?

Как правило, с помощью теоремы Кронекера-Капелли: система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: .

Следствие: совместная система имеет единственное решение, если равен количеству её переменных.

Посмотрим, как это работает на практике:

Пример 111

Исследовать систему на совместность и найти её решение, если система совместна

Не тушуйтесь, системы а) и б) уже прорешаны! Но тут есть дополнительное задание: исследовать систему на совместность. Поскольку в условии не предложен способ решения, то, разумеется, используем метод Гаусса. И не только по причине его универсальности. Ступенчатый вид расширенной матрицы системы автоматически сообщит нам ранги, в результате чего мы легко воспользуемся теоремой Кронекера-Капелли и сделаем вывод о совместности либо несовместности системы.

Решение:

а) Это система из Примера 104, которая уже приведена к ступенчатому виду:
.

Поскольку элементарные преобразования не меняют ранг матрицы, то в результате этих действий получены эквивалентная исходной матрица системы и расширенная матрица системы .

Обе матрицы имеют ступенчатый вид, причём в каждой матрице три стоки, следовательно, вывод таков: , значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна; и поскольку количество переменных ( – 3 шт.) совпадает с рангом матрицы, то система имеет единственное решение.

Дальше раскручиваем обратный ход метода Гаусса и записываем ответ, что уже также выполнено в Примере 104.

б) Вторую систему я взял из Примера 109, и финальная матрица тоже известна:

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной матрица системы и расширенная матрица .

Приведём матрицу системы к ступенчатому виду, удалив нулевую строку:

Количество строк ступенчатой матрицы равно двум, поэтому .

Расширенная же матрица системы имеет готовый ступенчатый вид и количество её строк равно трём, следовательно, .

Вывод: , значит, по теореме Кронекера-Капелли, система несовместна.

Следует заметить, что обоснование этого факта можно провести и через миноры:

Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен двум, например: , поэтому

Максимальный порядок ненулевого минора расширенной матрицы системы равен трём, например: , таким образом, .

Вывод такой же, и эта версия тоже встречается в некоторых методичках.

5.8. Системы с бесконечным количеством решений

5.6. Несовместные системы

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин