4.14.3. Как найти ранг матрицы с помощью миноров?

В качестве примера возьмём ту же матрицу и рассмотрим алгоритм нахождения ранга.

Поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы и, очевидно, что он не превосходит четырёх. Как действовать дальше?

Дальше необходимо начать перебор и вычисление миноров 2-го порядка. Если ВСЕ миноры 2-го порядка окажутся нулевыми, то ранг матрицы равен единице. Но это крайне маловероятно, рано или поздно (чаще всего рано), встретится ненулевой минор , и данный факт означает, что ранг матрицы не менее двух.

На следующем шаге последовательно перебираем и рассчитываем миноры 3-го порядка. Если ВСЕ эти миноры равны нулю, то . Если же встретился минор , то делаем вывод о том, что ранг матрицы не менее трёх и переходим к следующему шагу.

Перебор и вычисление миноров 4-го порядка. Если ВСЕ миноры 4-го порядка равны нулю, то , если встретился минор , то .

Таким образом, ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевого минора.

Схему «перебора в лоб» можно раскритиковать, но как ни странно, во многих случаях она даёт неплохие результаты. Тем не менее, следует отметить возможную длительность процесса и в целях сокращения перебора разработан:

4.14.4. Метод окаймляющих миноров

4.14.2. Миноры прямоугольной матрицы (общее определение)

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин