Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

4.14.4. Метод окаймляющих миноров

Алгоритм в общем виде, боюсь, будет мало кому понятен, поэтому разберём его в конкретной задаче:

Пример 83

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

Решение: дана квадратная матрицы «четыре на четыре» и совершенно понятно, что её ранг не превосходит четырёх.

Так как в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы.

Проверку миноров 2-го порядка начинаем с так называемого углового минора,
.
который равен – нулю, и поэтому переходим к минору:

, значит, ранг матрицы не менее двух.

Что было бы нужно сделать, если бы и этот минор оказался нулевым? В этом случае рассматриваем минор:

– и если он тоже равен нулю, едем дальше:
, , .
Если и эти кадры нулевые, то следует продолжить перебор миноров по аналогичной схеме у:
1-й и 3-й строк;
1-й и 4-й строк;
2-й и 4-й строк;
3-й и 4-й строк – до тех пор, пока не повстречается минор, отличный от нуля.

Если же все миноры 2-го порядка оказались нулевыми, то .

Но в нашем случае «хороший» минор встретился уже во второй попытке, и теперь мы переходим к рассмотрению миноров третьего порядка. Приделываем ноги малышу , который будет входить во все рассматриваемые миноры высших порядков:

Вопрос «третьим будешь?» может быть адресован либо красному, либо зелёному товарищу:

Был бы пятый столбец – нашёлся бы ещё один друг.

Начнём с красного:

Не помогло. Теперь сообразим с зелёным:

Тоже плохо. Свешиваем ноги ниже и последовательно берём в компанию «малиновые» и «коричневые» числа:

Сначала «синие» с «малиновыми»:
, значит, ранг матрицы не меньше трёх. Если бы этот минор оказался равным нулю, то следовало бы вычислить определитель из «синих» и «коричневых» чисел. Других миноров 3-го порядка, которые содержат младший ненулевой минор – нет. И если бы «сине-коричневый» определитель тоже съел бублик, то .

Миноров 3-го порядка на самом деле больше, и рассматриваемый метод в данном случае позволяет сократить вычисления, максимум, до четырёх определителей. Успех нас поджидал в третьей попытке, и ненулевой минор удостаивается ботинок:

Теперь «синие» и «малиновые» столбцы должны входить во все миноры высших порядков. В данном случае это единственный минор 4-го порядка, совпадающий с определителем матрицы:
(так как 2-я и 3-я строки пропорциональны)

Если бы ~~у бабушки~~ нас в матрице был пятый столбец, то следовало бы вычислить ещё один минор 4-го порядка («синие», «малиновый» + 5-й столбец).

Ответ: максимальный порядок ненулевого минора равен трём, значит, .

…Возможно, не все до конца осмыслили данную фразу: минор 4-го порядка равен нулю, но среди миноров 3-го порядка нашёлся ненулевой – поэтому максимальный порядок ненулевого минора и равен трём.

Возникает вопрос, а почему бы сразу не вычислить определитель? Ну, во-первых, в большинстве заданий матрица не квадратная, а во-вторых, даже если и получится ненулевое значение, то задание, скорее всего, будет забраковано, поскольку подразумевает стандартное решение «снизу вверх». А в рассмотренном примере нулевой определитель 4-го порядка и вовсе позволяет утверждать лишь то, что ранг матрицы меньше четырёх.

Самостоятельно:

Пример 84

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

Решение с краткими комментариями в конец книги

Когда алгоритм работает быстрее всего? Вернёмся к той же матрице «четыре на четыре»: . Очевидно, решение будет самым коротким в случае «хороших» угловых миноров:

и если , то , в противном случае – .

Размышление совсем не гипотетично – встречается немало примеров, где всё дело и ограничивается только угловыми минорами. Однако в ряде случаев более эффективен и предпочтителен другой способ нахождения ранга, но сначала подготовимся к нему:

4.14.5. Элементарные преобразования матрицы

4.14.3. Как найти ранг матрицы с помощью миноров?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин