Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

5.4. Как решить систему с помощью обратной матрицы?

Для этого её нужно записать в матричной форме, которая элементарна: , где – матрица упорядоченных коэффициентов левой части системы, – столбец неизвестных и – столбец свободных членов. Так, для наиболее популярной на практике системы имеем: и получаем матричное уравнение :

Убедимся в том, что эта запись корректна. Для этого выполним матричное умножение в левой части:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы:

Таким образом, корректность матричного уравнения показана. А их мы уже решать умеем! Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева (полагаем, что обратная матрица существует):

– таким образом, всё, что нужно сделать – это найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение:

Пример 102

Решить систему с матричным методом

Решение: запишем систему в матричной форме:
, где

Решение найдем по формуле. Тут, кстати, можно подробно расписать, как мы пришли к этой формуле (см. выше). Дальше всё идёт по накатанной колее.

Обратную матрицу найдем по формуле , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Вычислим определитель матрицы коэффициентов, здесь я раскрыл определитель по первой строке:

, значит, матрица обратима (обратная матрица существует), и система имеет единственное решение.

Если окажется, что , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно.

Вычислим минор советующих элементов матрицы . Лучше письменно, хотя, при определённом опыте их можно приноровиться считать ~~с ошибками~~ устно:

Таким образом: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не умножаем матрицу на , это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. А вот внести «минус» очень даже в тему.

Осталось выполнить матричное умножение.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Всё разделилось красиво, и скорее всего мы не ошиблись.

Но проверку лучше сделать привычкой

и вот здесь можно потренироваться как раз в устном счёте.

Ответ:

Разумеется, решение может оказаться и дробным, и если вы подозреваете, что ошиблись, тем более выполните проверку! Или используйте Матричный калькулятор, в который я добавил довольно подробное решение этой задачи.

Тренируемся самостоятельно:

Пример 103

Решить систему с помощью обратной матрицы.

Сверяемся с образцом и переходим к «королевскому» методу:

5.5. Метод последовательного исключения неизвестных (Гаусса)

5.3. Метод Крамера

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин