4.5.4. Раскрытие определителя по строке или по столбцу

Как вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки :).

И решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.

Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм. Его суть состоит в том, чтобы свести решение к трём маленьким определителям «два на два», которые называют минорами. Термин запОмните, тем более, он запоминающийся: минор – маленький, младший. И совсем не грустный :)

Для объяснений мне будет удобно использовать матрицу знаков , в левом верхнем углу которой находится знак «плюс», а остальные знаки располагаются в шахматном порядке.

! Примечание: матрица знаков – это моё собственное изобретение, и его не нужно использовать или упоминать в чистовом оформлении заданий. Чуть позже я строго объясню, откуда берутся эти знаки.

В качестве примера раскроем наш подопытный определитель по первой строке, и коль скоро так, то, очевидно, всё вращается вокруг неё:

Сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент и ставим знак умножения:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа образуют определитель «два на два», который и является минором данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу первой строки:

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

и оставшиеся четыре числа заносим в маленький определитель (минор).

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

и оставшиеся четыре числа записываем в минор.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем:

Готово.

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получится одинаковым.
Задание: вычислить данный определитель, разложив его по второму столбцу.

Решение в конце книги (Пример 56).

И, как говорится, почувствуйте разницу ;)

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя аналогичный алгоритм. При этом матрица знаков у нас увеличится:

И, как вы правильно догадались, решение сводится к вычислению четырёх миноров (младших определителей) «три на три». А если повезёт, то вычислений будет поменьше:

Пример 57

Здесь я раскрыл определитель по четвертому столбцу, а как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно:

Кстати, почему именно по 4-му? Это один из наиболее рациональных способов: так как в этом столбце есть ноль, то второй минор вычислять не нужно. Из этих же соображений определитель можно было разложить и по 2-й строке.

Задание: довести решение до конца, разложив: минор № 1 по 1-му столбцу, минор № 3 по 2-й строке и последний минор – по 3-й строке. Чтобы не запутаться, решение удобно оформить по пунктам. Свериться можно в конце книге. И не забывайте о Матричном калькуляторе!

4.6. Миноры и алгебраические дополнения

4.5.3. Формула Саррюса

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин