Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

4.6. Миноры и алгебраические дополнения

Только что мы освоили упрощенный алгоритм расчёта определителей, но пришло время познакомить вас с более строгими обозначениями и терминологией. Заодно дадим определение определителя.

Начнём с компактного обозначения матрицы: , где или короче:

Эта запись обозначает матрицу, состоящую из элементов , где переменная «и» «пробегает» все натуральные значения от 1 до «эм», а переменная «жи» – все натуральные значения от 1 до «эн». Таким способом записывают матрицу размером «эм на эн» во многих источниках. Но я не зверь какой, и буду всё расписывать подробно, это вам просто для справки :). Однако здесь нам встретилась очень важная вещь в плане обозначений.

Смысл двойных подстрочных индексов: первое число обозначает номер строки, в котором расположен элемент, а второе число – номер столбца:

Это СТАНДАРТ. И не только в алгебре. Запомните данный факт!

Рассмотрим скромную матрицу («два на два»):

Подстрочные индексы элемента говорят о том, что он расположен в 1-й строке, 1-м столбце;
элемент расположен в 1-й строке, 2-м столбце;
элемент расположен во 2-й строке, 1-м столбце
и, наконец, элемент – во 2-й строке, 2-м столбце.

Хорошо, едем дальше.

Минором элемента квадратной матрицы называют определитель , полученный вычёркиванием строки и столбца, в котором расположен данный элемент. Если в результате вычёркивания осталось одно число, то минор равен определителю этого числа, то есть самому числу.

Алгебраическим дополнением элемента называют число . Проще говоря, если сумма индексов нечётна, то минор домножается на –1.

Так, в матрице «два на два» минором элемента является (вычеркнули 1-ю строку и 1-й столбец, где находится элемент ), и алгебраическое дополнение: .

Минор элемента – это число (вычеркнули 1-ю строку и 2-й столбец, где находится элемент ), алгебраическое дополнение:
;
минор элемента – это и алгебраическое дополнение

и минор элемента – это число с алгебраическим дополнением .

Определитель матрицы – это сумма произведений элементов любой строки либо столбца на соответствующие алгебраические дополнения.

Разложим определитель матрицы «два на два», например, по 1-му столбцу:
, в результате чего получена известная нам формула.

Самостоятельно разложИте этот определитель тремя другими способами и убедитесь, что получится то же самое.

Теперь наиболее популярный случай:
! Проговорите вслух, что означают подстрочные индексы!

Найдём определитель этой матрицы, например, по первой строке. По определению:

…Знакомая картинка, не правда ли? По существу, в «матрице знаков» я замаскировал алгебраические дополнения, дабы не утопить начинающих в терминах. Ну а с маленькими определителями «два на два» снова разбираемся по определению определителя (см. выше), в результате чего получится не что иное, как формула треугольников.

И смотрИте, какАя штука: приведённое выше определение определителя определяет его через алгебраические дополнения, то есть, по сути, через другие определители (миноры). Такую схему называют рекурсией. И, используя рекурсивное определение определителя, можно получить формулу для вычисления определителя любого порядка.

Следует сказать, что определение определителя чаще всего даётся через так называемые перестановки и инверсии (из чего, кстати, следует только что упомянутая формула) Но это достаточно громоздкие выкладки, которые я оставлю за рамками настоящей книги, а то здесь нарисуется ещё две страницы крякозябр :D, и «чайники» таки утонут.

4.7. Обратная матрица

4.5.4. Раскрытие определителя по строке или по столбцу

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин