Ваш репетитор, справочник и друг! Высшая алгебра для начинающих |
4.7. Обратная матрицаЧто такое обратная матрица? Тут можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение квадратной матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице. Таким образом, – это матричный аналог числовой единицы. Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц: «два на два», «три на три» и т. д. Начнём с простейшего случая: Пример 58 Дана матрица . Найти Обратную матрицу можно найти с помощью элементарных преобразований (разберём позже), но гораздо чаще
используют готовую формулу: Если , то матрица называется вырожденной, и обратной для неё матрицы не существует. И это тоже может быть ответом задачи! Решение удобно оформить по пунктам: 1) Сначала находим определитель матрицы: 2) Находим матрицу миноров соответствующих элементов матрицы . Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , в данном случае: Как добывать миноры, мы только что разобрали, и поэтому секретов тут нет. Впрочем, ещё раз повторим, в картинках, так как среди моих читателей есть и дети. Сначала рассмотрим левый верхний элемент матрицы : Как найти его минор? МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Рассматриваем следующий элемент матрицы : Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: Таким образом: 3) Находим матрицу алгебраических дополнений . Поскольку , то, грубо говоря, нужно просто
поменять знаки у некоторых миноров. У левого верхнего минора – знак не меняется, а у остальных это происходит в шахматном порядке: . Таким образом, в матрице миноров нужно поменять
знаки у следующих чисел: В нашей задаче: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений . То есть, строки матрицы нужно последовательно
(сверху вниз) переписать в столбцы транспонированной матрицы: 5) Собственно, ответ готов. По формуле: Обратную матрицу лучше оставить в таком виде. Делить каждый элемент матрицы на 2 не надо – по той причине, что получатся дробные числа. А оно зачем? Как проверить решение? Нужно выполнить матричное умножение либо , и это ещё одно исключение из правила, когда произведение матриц всё же перестановочно: . Проверка: Ну, или наоборот, без разницы: Теперь переходим к более распространенному на практике случаю – «три на три»: Пример 59 Найти обратную матрицу для матрицы Алгоритм точно такой же, как и для матрицы «два на два». Решение: обратную матрицу найдем по формуле: 1) Вычислим определитель матрицы. Разложу его по первой
строке: 2) Находим матрицу миноров соответствующих элементов матрицы . Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел. Подробно распишу парочку миноров: Рассмотрим левый верхний элемент матрицы: И для закрепления алгоритма – нахождение ещё одного минора в картинках: Как вы, наверное, догадались, здесь нужно вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже. Задание: вычислить (НА БУМАГЕ) остальные миноры. При чистовом оформлении примера лучше использовать «цивилизованные» обозначения: Миноры найдены, осталось 7 штук. НЕ ЛЕНИМСЯ! И да, добрый совет: если у вас под рукой нет матричного калькулятора – никаких устных вычислений! Обязательно расписываем каждый минор. С решением можно свериться в конце книги. Итак, в результате вычислений у нас образовалась следующая матрица миноров: То, что все они получились отрицательными – чистая случайность. 3) Находим матрицу алгебраических дополнений . Поскольку , то можно иметь в виду знакомую
«матрицу знаков» , то есть в матрице миноров
нужно сменить знаки у следующих чисел: В нашей задаче: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений . – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 5) Ответ: , тот редкий случай, когда обратная матрица получилась «красивой». Теперь выполним проверку. Для этого нужно вычислить или . Иногда, кстати, требуют и то и другое. Проверка является неотъемлемой частью многих задач, и поэтому отнесёмся к ней со всей серьёзностью. Заодно повторим неформальное правило матричного умножения: последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы.
Задание: выполнить матричное умножение Образец решения в конце книги (Пример 59). Как найти обратную матрицу для матрицы «четыре на четыре»? Там придётся вычислить 1 определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три». …Но то я, конечно, пошутил :) В тяжелых случаях целесообразно использовать метод элементарных преобразований. Хотя, на моей памяти был случай, когда студента заставили находить обратную матрицу «четыре на четыре» «каторжным» способом. И если вы окажетесь таким «счастливчиком», то минут так 40-50 это займёт, что ж поделать…. Ну а теперь переходим в «старшие классы» и продолжаем «набивать руку» на матрицах и определителях: 4.8. И снова о матричном умножении 4.6. Миноры и алгебраические дополнения Автор: Aлeксaндр Eмeлин |
|