Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

4.7. Обратная матрица

Что такое обратная матрица? Тут можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: .

С матрицами всё похоже! Произведение квадратной матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице. Таким образом, – это матричный аналог числовой единицы.

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц: «два на два», «три на три» и т. д. Начнём с простейшего случая:

Пример 58

Дана матрица . Найти

Обратную матрицу можно найти с помощью элементарных преобразований (разберём позже), но гораздо чаще используют готовую формулу:
, где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . Не пугаемся :)

Если , то матрица называется вырожденной, и обратной для неё матрицы не существует. И это тоже может быть ответом задачи!

Решение удобно оформить по пунктам:

1) Сначала находим определитель матрицы:
, значит, обратная матрица СУЩЕСТВУЕТ. Иногда говорят, что матрица не вырождена или обратима.

2) Находим матрицу миноров соответствующих элементов матрицы .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , в данном случае:
, для простоты обозначим неизвестные звёздочками: .

Как добывать миноры, мы только что разобрали, и поэтому секретов тут нет. Впрочем, ещё раз повторим, в картинках, так как среди моих читателей есть и дети.

Сначала рассмотрим левый верхний элемент матрицы :

Как найти его минор? МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента. Записываем его в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу миноров:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Таким образом:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

Поскольку , то, грубо говоря, нужно просто поменять знаки у некоторых миноров. У левого верхнего минора – знак не меняется, а у остальных это происходит в шахматном порядке: . Таким образом, в матрице миноров нужно поменять знаки у следующих чисел:

В нашей задаче: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

То есть, строки матрицы нужно последовательно (сверху вниз) переписать в столбцы транспонированной матрицы:
– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Собственно, ответ готов. По формуле:

Обратную матрицу лучше оставить в таком виде. Делить каждый элемент матрицы на 2 не надо – по той причине, что получатся дробные числа. А оно зачем?

Как проверить решение? Нужно выполнить матричное умножение либо , и это ещё одно исключение из правила, когда произведение матриц всё же перестановочно: .

Проверка:

, значит, обратная матрица найдена правильно.

Ну, или наоборот, без разницы:

Теперь переходим к более распространенному на практике случаю – «три на три»:

Пример 59

Найти обратную матрицу для матрицы

Алгоритм точно такой же, как и для матрицы «два на два».

Решение: обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Вычислим определитель матрицы. Разложу его по первой строке:

, значит, обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров соответствующих элементов матрицы .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел. Подробно распишу парочку миноров:

Рассмотрим левый верхний элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, где находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента (двойки). Его нужно вычислить:

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

И для закрепления алгоритма – нахождение ещё одного минора в картинках:

Как вы, наверное, догадались, здесь нужно вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Задание: вычислить (НА БУМАГЕ) остальные миноры. При чистовом оформлении примера лучше использовать «цивилизованные» обозначения:

Миноры найдены, осталось 7 штук. НЕ ЛЕНИМСЯ! И да, добрый совет: если у вас под рукой нет матричного калькулятора – никаких устных вычислений! Обязательно расписываем каждый минор. С решением можно свериться в конце книги.

Итак, в результате вычислений у нас образовалась следующая матрица миноров:

То, что все они получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

Поскольку , то можно иметь в виду знакомую «матрицу знаков» , то есть в матрице миноров нужно сменить знаки у следующих чисел:

В нашей задаче: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ: , тот редкий случай, когда обратная матрица получилась «красивой».

Теперь выполним проверку. Для этого нужно вычислить или . Иногда, кстати, требуют и то и другое. Проверка является неотъемлемой частью многих задач, и поэтому отнесёмся к ней со всей серьёзностью. Заодно повторим неформальное правило матричного умножения: последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы.

, значит, обратная матрица найдена правильно.

Задание: выполнить матричное умножение

Образец решения в конце книги (Пример 59).

Как найти обратную матрицу для матрицы «четыре на четыре»?

Там придётся вычислить 1 определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три». …Но то я, конечно, пошутил :) В тяжелых случаях целесообразно использовать метод элементарных преобразований.

Хотя, на моей памяти был случай, когда студента заставили находить обратную матрицу «четыре на четыре» «каторжным» способом. И если вы окажетесь таким «счастливчиком», то минут так 40-50 это займёт, что ж поделать….

Ну а теперь переходим в «старшие классы» и продолжаем «набивать руку» на матрицах и определителях:

4.8. И снова о матричном умножении

4.6. Миноры и алгебраические дополнения

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин