Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

4.4. Умножение матриц

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, что правило умножения матриц выглядит весьма странно, впрочем, оставим лирику.

Вопрос первый: какие матрицы можно умножать?

Матрицу можно умножить на матрицу только в том случае, если количество столбцов 1-й матрицы равно количеству строк 2-й матрицы.

Так, например, можно ли умножить матрицу на матрицу ?

Сканируем условие:

Число столбцов 1-й матрицы равно числу строк 2-й матрицы, значит, умножение осуществимо. А вот если переставить матрицы местами, то умножение уже аминь:

, значит, матрицу нельзя умножить на матрицу :

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно. Это, к слову, относится и к некоторым другим действиям с матрицами.

Однако в ряде случаев можно умножать и так и так. Так, например, для матриц , существует как произведение , так и произведение

Вопрос второй: как перемножить две матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение и общая формула введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей. Начнём с самого простого:

Пример 49

Умножить матрицу на матрицу

Умножение осуществляется по формуле :

Пример 50

Умножить матрицу на матрицу

Здесь формула такова: – попытайтесь сразу уловить закономерность: сначала мы берём столбец «цэ», «поворачиваем его на левый бок» и «пристраиваем» к каждой строке 1-й матрицы. Затем берём столбец «дэ» и аналогично «пристраиваем» его к каждой строке 1-й матрицы.

Считаем: – в том, что получилась нулевая матрица, нет ничего особенного, могла получиться и ненулевая :)

Задание: самостоятельно выполнить матричное умножение , не ленимся!

Ну и, наверное, вы обратили внимание, что . Это не случайность.

В общем случае матрицы переставлять нельзя!

То есть, в отличие от чисел матричное умножение некоммутативно. Таким образом, если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот!

Однако существуют исключения из правила, и с одним из них я познакомлю вас прямо сейчас: , где – квадратная матрица произвольного размера, а – соответствующая единичная матрица. Ларчик открывается просто, дело в том, что и произведение тоже равно . Самостоятельно проверьте этот факт для случая «два на два» и убедитесь, что:
и .

Едем дальше. У начинающих часто возникает путаница с размерностью итоговой матрицы. Пожалуйста, перепишите к себе в тетрадь общую схему:

Пример 51

Выполнить матричное умножение

Во-первых, проверим, можно ли вообще умножать. Число столбцов 1-й матрицы равно двум и число строк 2-й матрицы тоже равно двум, следовательно, всё ОК.

Согласно схеме выше, в результате умножения должна получиться матрица «один на два», то есть строка из двух чисел. Вспоминаем наш мнемонический приём: сначала берём 1-й столбец правой матрицы, «поворачиваем его на левый бок» и «пристраиваем» к единственной строке левой матрицы. Затем то же самое проделываем со 2-м столбцом:

Самостоятельно:

Пример 52

Сверяемся с решением и продолжаем набивать руку на типовых примерах:

Пример 53

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на аналогичный двумерный случай (Пример 49):

В данном случае:

И всего то.

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в такой задачке:

Пример 54

Умножьте матрицу на матрицу

Это очень распространённое произведение. Классика жанра Что делаем? Последовательно «перебираем» столбцы матрицы , поворачиваем их на левый бок и «пристраиваем» к каждой строке матрицы .

И ещё один практический секрет, не помню, кто сформулировал эту полезность:

Приступая к выполнению задания, неплохо бы заранее знать результат

Поэтому к книге приложен Матричный калькулятор – перед ручными расчётами просто забейте в него исходные матрицы и получИте правильный ответ. Это позволит контролировать каждый шаг вычислений и не пропустить возможные ошибки.

4.5. Определитель матрицы

4.3.4. Сумма (разность) матриц

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин