Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

4.9. Матричные выражения

Сначала повторим обычные выражения с числами. Числовое выражение состоит из чисел, знаков математических действий и скобок, например:

При расчётах справедлив знакомый алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки, затем выполняется возведение в степень / извлечение корней, потом умножение / деление и, наконец, в последнюю очередь – сложение /вычитание.

Результат вычисления числового выражения является числом, например:

Матричные выражения устроены практически так же! С тем отличием, что главными действующими лицами выступают матрицы. Плюс некоторые специфические матричные операции, такие, как транспонирование и нахождение обратной матрицы.

Рассмотрим матричное выражение , где – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения / вычитания выполняются в последнюю очередь.

В первом слагаемом сначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: , потом выполнить умножение и полученную матрицу умножить на два. Обратите внимание, что операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение. Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: – тут сначала выполняется умножение , потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2.

Во втором слагаемом в первую очередь выполняется матричное умножение , и обратная матрица находится уже от результата произведения. Если скобки убрать: , то сначала необходимо найти обратную матрицу , а затем перемножить матрицы: . Нахождение обратной матрицы тоже имеет приоритет перед умножением.

С третьим слагаемым всё понятно: возводим матрицу в куб и вносим –5 в полученную матрицу.

Что должно получиться в результате вычисления матричного выражения?
Может ничего не получиться. Поскольку не все действия осуществимы.

Но если результат вычисления существует, то он тоже является матрицей. Как говорится, кошки не родят мышку. Это я о замкнутости алгебраической структуры относительно операций =)

Следующие задания, как и все предыдущие, взяты из реальных практических работ, и мы начнём с самого простого:

Пример 66

Даны матрицы .

Вычислить и

Решение: порядок действий очевиден, сначала выполняется умножение на число, затем сложение:

Сложение выполнить невозможно, так как матрицы разных размеров.

Не удивляйтесь. Как я уже отмечал, заведомо невозможные действия часто предлагаются в заданиях данного типа.

Пробуем вычислить второе выражение:

Тут всё нормально.

Ответ: действие выполнить невозможно, .

Чуть повысим сложность:

Пример 67

Даны матрицы . Найти значения следующих выражений:

Решать во многих случаях (но не всегда) лучше по порядку, и мы начинаем с произведения . Более высокий приоритет имеет транспонирование: и далее умножение: , которое выполнить нельзя, так как число столбцов матрицы не равно числу строк матрицы .

А вот с произведением никаких проблем:

Здесь на первом же шаге множитель (–1) удобно вынести вперёд, чтобы разобраться с ним в самую последнюю очередь. Но вот если бы в матрице или было много отрицательных чисел, то минус было бы выгодно сразу внести (туда или туда).