4.8.4. Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?

Данные операции определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу в куб, нужно вычислить произведение:

Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы:

Таким образом, получаем рабочую формулу: , то есть, сначала матрицу нужно возвести в квадрат, а затем полученную матрицу умножить на матрицу .

Пример 65

Возвести матрицу в куб.

Легко: сначала найдём квадрат:

затем куб:

Готово.

Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом:

Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых, – это произведение 3 матриц. И далее есть два пути:

1) . То есть, сначала находим , затем домножаем его на – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет 4-я степень.

2) Но существует решение на шаг короче: . То есть, на первом шаге находим квадрат и, минуя куб, выполняем умножение

Задание:

Возвести матрицу в четвёртую степень двумя способами

Образец для сверки в конце книги. Кстати, заметьте, что если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень, то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой .

Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм:
1) находим ;
2) находим ;
3) возводим матрицу в пятую степень: .

Сдаём «выпускной экзамен» по матрицам:

4.9. Матричные выражения

4.8.3. Как перемножить три матрицы?

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин