Ваш репетитор, справочник и друг! Высшая алгебра для начинающих |
4.8.4. Как возвести матрицу в куб и более высокие степени?Данные операции определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу в куб, нужно вычислить произведение: Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы: Таким образом, получаем рабочую формулу: , то есть, сначала матрицу нужно возвести в квадрат, а затем полученную матрицу умножить на матрицу . Пример 65 Возвести матрицу в куб. Легко: сначала найдём квадрат: Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом: Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых, – это произведение 3 матриц. И далее есть два пути: 1) . То есть, сначала находим , затем домножаем его на – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет 4-я степень. 2) Но существует решение на шаг короче: . То есть, на первом шаге находим квадрат и, минуя куб, выполняем умножение Задание: Возвести матрицу в четвёртую степень двумя способами Образец для сверки в конце книги. Кстати, заметьте, что если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень, то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой . Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм: Сдаём «выпускной экзамен» по матрицам: 4.8.3. Как перемножить три матрицы? Автор: Aлeксaндр Eмeлин |
|