Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

5.9.3. Взаимосвязь решений неоднородной и однородной системы

Представьте двух близких родственниц: неоднородную систему (у которой хотя бы один свободный член отличен от нуля) и такую же систему – только с нулевыми свободными членами (то бишь, соответствующую однородную систему).

Логично предположить, что если системы отличаются лишь столбцом свободных членов, то между их решениями должна существовать тесная связь. … И это действительно так! Всё разберём в конкретном примере:

Пример 121

Дана система линейных уравнений

Требуется:
1) найти общее решение;
2) используя результат предыдущего пункта, найти общее решение соответствующей однородной системы и записать его в векторной форме.

…Страха я тут нагнал во втором пункте, но мы его преодолеем :)

Решение: по условию, дана «обычная» неоднородная система уравнений, и первая часть не отличается новизной:

1) Запишем расширенную матрицу системы (не зеваем нолик в третьей строке) и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. К четвёртой строке прибавили первую строку, умноженную на –4.
(2) Последние три строки одинаковы, две из них удалили.

Обратный ход:
– базисные переменные (они расположены на «ступеньках»);
– свободные переменные (которым «ступеньки» не досталось).

Выразим базисные переменные через свободные. Из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение :

Общее решение неоднородной системы обозначим через .

Ответ:

2) Во второй части задания требуется найти общее решение такой же, только однородной системы , причём, по условию, необходимо использовать ответ предыдущего пункта. Выполнять элементарные преобразования заново, как вы правильно догадались, не нужно.

Правило: общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какого-либо (любого!) частного решения неоднородной системы :

Откуда легко выражается общее решение нашей однородной системы:

Общее решение неоднородной системы найдено в первом пункте:
, и осталось найти какое-нибудь частное решение . Проще всего взять нулевые значения свободных переменных :

Таким образом, общее решение соответствующей однородной системы:

Задание: самостоятельно проверьте найденное решение, подставив и в левую часть каждого уравнения однородной системы.

Представим в векторной форме. Поскольку у нас две свободные переменные, то фундаментальная система решений состоит из двух векторов. Пойдём классическим путём, с некоторой, впрочем, поправкой:
рассмотрим пару значений свободных переменных и получим первый вектор: – координаты данного вектора удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (проверьте устно!).

Теперь вторая «стандартная» пара: …, но хорошА ли она? Если её подставить в общее решение , то получатся дроби. А оно зачем?

Поэтому здесь удобнее взять пропорциональные значения , чтобы получить целые координаты второго вектора: – этот вектор тоже удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (проверьте!).

И вообще, произвольная линейная комбинация векторов фундаментальной системы , где – любые действительные числа, является решением данной системы,

ответ: , где

Иными словами, если взять два любых вещественных числа, скажем, , то получится вектор частного решения однородной системы:

…Порядком я, наверное, Вас подзапутал, поэтому перечитайте задание еще раз :). И тогда из правила окончательно станет понятной следующая вещь: поскольку частное решение мы можем взять любое, то общее решение однородной системы запишется бесконечным количеством способов, и понятно, все они будут эквивалентны друг другу. Вот такое вот многоликое общее решение!

5.10. Метод Гаусса-Йордана

5.9.2. Выбор базисных переменных

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин