Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

5.10. Метод Гаусса-Йордана

Или метод Гаусса-Жордана – в русскоязычных источниках повелось неверно транскрибировать фамилию Jordan немецкого математика Вильгельма Йордана.

Элементы этого метода я уже начал применять в предыдущих параграфах, и сейчас пришло расставить все точки над «J» :)

В ходе использования метода Гаусса мы приводили матрицу к ступенчатому виду следующим образом: (конкретный случай для примера).

Но возникает вопрос, а почему бы её не привести так:
?

Этот способ совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия.

Однако чего тут мелочиться? – подумал немец Йордан и предложил сразу привести её к виду , получая готовый ответ.

Возможно ли это? Да, возможно!

Так давайте воплотим эту замечательную идею в жизнь! – повторив путь немецкого математика.

Как Вы правильно догадываетесь, метод Гаусса-Йордана представляет собой модификацию метода Гаусса:

Пример 122

Решить систему методом Гаусса-Йордана

Это система из Примера 104 и начало решения такое же. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований (у нас там получилось 5 шагов) приведём её к ступенчатому виду:

Но теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам нужно получить нули вот на этих местах:
,
а потом ещё один ноль здесь:
.
И у нас идеальный с точки зрения простоты пример:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью.
(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.

Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:

Ответ:

Однако предостерегаю Вас от шапкозакидательского настроения – это была несложная демонстрационная задача.

Для метода Гаусса-Йордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу. Не хочу показаться резким, но во многих источниках этот метод разобран из рук вон плохо, но за годы практики мне удалось выработать оптимальный алгоритм – без мучений и зубодробительных расчётов:

Пример 123

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Йордана

Решение: первая часть задания хорошо знакома:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.
(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.
(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7
(4) Третью строку разделили на 2.

Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .

Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:
находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т. е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в 3-м столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа, и этими соображениями обусловлено пятое преобразование матрицы:

(5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это менее удобный вариант для последующего действия. К хорошему привыкаешь быстро:

(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку. Всегда бы так!
(7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа. В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4.
(8) К первой строке прибавили вторую.
(9) И заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку – на
–24 и третью строку – на 3. Эти действия выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких «преждевременных» дробей!

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система
и с выражением базисных переменных через свободную переменную – проблем вообще никаких:

Заметьте, что первая базисная переменная равна константе (двойке), так бывает.

Осталось записать
ответ: общее решение:

Разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме. А если вдруг нужно найти фундаментальную систему и записать решение в векторной форме, то это мы тоже подробнейшим образом разобрали.

Для самостоятельного решения:

Пример 124

Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований

Такая формулировка условия предполагает использование метода Гаусса-Йордана, и в образце решения матрица приведена к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные.

Так, например, если в первом столбце большие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду (базисные переменные ), или к виду (базисные переменные ), или даже к виду с базисными переменными . Существуют и другие варианты.

Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового варианта, когда в исходной матрице, скажем, в 5-м столбце есть два готовых нуля.

5.11. Как найти обратную матрицу методом элементарных преобразований?

5.9.3. Взаимосвязь решений неоднородной и однородной системы

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин