3. Многочлены

Многочлены, многочлены, многочлены – учат в школе, учат в школе, учат в школе. И мы их не только повторим, но и приправим высшей алгеброй :) Во-первых, у этого понятия есть синоним: полином. И во-вторых, за ним где-то робко прячется одночлен.

Одночлен – это произведение, состоящее из числовых множителей и переменных в целых неотрицательных степенях, например: и так далее. Как видите, «одинокая» константа (любое число) тоже считается одночленом.

Сумму степеней при различных переменных называют степенью одночлена, так – одночлен 2-й степени, – одночлен 1 + 2 = 3-й степени и – одночлен 2 + 4 + 1 + 1 = 8-й степени. Степень константы («цэ большое») равна нулю.

Если в произведении есть что-то ещё (корни, нечисловые дроби, другие функции), или другие действия, то это уже не одночлен: . Это просто член.

Многочленом называют сумму одночленов, например: , причём первый также величают двучленом, а второй – трёхчленом. По количеству одночленов. Степень многочлена – это максимальная степень входящих в него одночленов. Так, первый многочлен имеет 5-ю степень (4 + 1), а второй – 4-ю степень.

В частности, многочленом считают и любой одночлен, к нему всегда можно приписать нулевые слагаемые: . Это важный технический приём, используемый в некоторых задачах.

Многочлены встретились нам не только в школьной программе, но и в курсе аналитической геометрии. Так, в уравнении линии второго порядка, приведу общее уравнение: – в левой части находится многочлен двух переменных. А уравнения поверхностей, например , содержат многочлены трех переменных. Переменных, разумеется, может быть и больше, и даже очень много, но сейчас нас будут интересовать многочлены одной переменной.

Многочлен одной переменной – это выражение вида:
, где – числовые коэффициенты, причём, . Коэффициенты могут быть целыми или рациональными или действительными или комплексными. Это как мы решим сами. Но чаще за нас :)

Натуральное число называют степенью многочлена, а коэффициент – старшим коэффициентом. Коэффициент называется свободным членом.
Многочлен вида имеет нулевую степень, его можно ещё записать так: , а если эта константа – ноль, то перед нами нулевой многочлен. Его степень не определена. И в самом деле, к нулю можно добавить сколько хочешь нулевых одночленов:

Примечание: в некоторых источниках, моих в том числе, используется реверсное обозначение коэффициентов . Это эквивалентный, но менее удобный вариант.

3.1. Сложение и умножение многочленов

2.3. Уравнения с комплексными числами

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин