3.1. Сложение и умножение многочленов

Выполняли, повторим сейчас (вдруг кто что запамятовал), и, конечно, будем выполнять в будущем.

Чтобы сложить многочлены, нужно сложить коэффициенты при соответствующих степенях или попросту – привести подобные слагаемые.
Сложим, например, и :

Одночлены суммы (итогового многочлена) принято располагать в порядке убывания степеней. Но иногда стильно смотрится и обратный порядок, а-ля: . Кстати, эта рекомендация касается и многочленов вообще – не нужно извращаться и записывать их как-нибудь так: .

Обратите внимание, что у некоторых одночленов может не найтись пары для сложения (куб и квадрат в нашем примере), а некоторые слагаемые могут взаимоуничтожиться (константы в нашем случае).

Вычитание – здесь нужно просто поставить скобки перед вычитаемым многочленом и раскрыть их:

Надеюсь, все помнят, что если поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, то в общем случае получится другая разность:

Полученные многочлены и – это, разумеется, разные многочлены. …Не вместился у меня на предыдущую страницу очевидный факт: два многочлена равны, если равны их соответствующие коэффициенты. Если хоть в какой-то паре коэффициенты различны, то многочлены уже не равны друг другу.

И вновь повторяем за мной хором: чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. …Отлично! После чего приводим подобные слагаемые (если они есть).

Применим сиё эпичное правило к многочленам и . Технически это можно сделать разными способами – сначала умножить «икс» на каждый член 2-го многочлена, затем умножить «двойку» на каждый член 2-го многочлена:

либо умножаем «икс» на , «два» на , затем «икс» и «два» на и затем на :

Кому как нравится, кому как удобнее. Кому-то, может, удобнее начать с членов второго многочлена. Но на практике так подробно, конечно, расписывать всё не нужно – это я для того, чтобы вам был понятен порядок перемножения.

Для опытных пользователей математики и желающих стать таковыми приведу алгоритм устного перемножения многочленов:
– сначала устно перемножаем старшие члены многочленов: и сразу записываем результат:
, это, к слову, старший член новорожденного многочлена.