Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

3.2. Кольцо многочленов

Небольшой теоретический параграф, который будет полезен всем – мало ли кто не знает, какие ещё есть «фишки» у многочленов….

Рассмотрим – множество многочленов одной переменной с действительными (например) коэффициентами. Напоминаю, что также можно рассмотреть либо целые, либо рациональные, либо комплексные коэффициенты. В данном случае это не принципиально.

С точки зрения алгебраической структуры, множество с определёнными на нём операциями сложения и умножения представляет собой кольцо.

Доказательство этого утверждения состоит в проверке аксиом кольца. Дабы не городить страшные записи с кучей букв и индексов я подробно обосную лишь одну аксиому, удобно начать с четвёртой:

Для любых многочленов (степень ) и (степень ), принадлежащих множеству , справедливо свойство коммутативности:

Повторюсь, что это хоть и кажется «элементарщиной», но выполнено далеко не для всех алгебраических объектов. А посему в суровой алгебре даже такие «очевидные» факты подлежат проверке: для определённости положим, что степень первого многочлена больше степени второго: . Тогда многочлены можно расписать следующим образом:

Чтобы сложить многочлены, нужно сложить их коэффициенты при соответствующих степенях:

Теперь сложим многочлены в другом порядке:

Для действительных чисел имеет место коммутативность сложения, поэтому:

Таким образом, мы получили одинаковые многочлены (многочлены равны, если равны их соответствующие коэффициенты).

Свойство доказано.

И остальные аксиомы в обзорном порядке. Для всех многочленов множества справедливо:

– свойство ассоциативности сложения. …Впервые тут вроде встретились квадратные скобки, прокомментирую: в алгебраических выражениях квадратные скобки отличаются от круглых лишь своей квадратностью :) Они используются для того, чтобы чётче были видны арифметические действия.

– во множестве многочленов существует нейтральный элемент относительно сложения, это нулевой многочлен, степень которого не определена:
, и в самом деле, если к произвольному многочлену добавить нулевой многочлен (сумму любого количества нулевых одночленов), то получится тот же самый многочлен .

Заметьте, что коль скоро я уже доказал 4-ю аксиому, то мне не нужно расписывать 2-ю аксиому в «классическом» виде .

- для любого многочлена , принадлежащего множеству (проговариваем вслух!), – существует противоположный многочлен, принадлежащий этому множеству, такой, что:

Это многочлен с противоположными коэффициентами:

– доказана выше.

Таким образом, – это коммутативная группа относительно сложения. Но группой дело не ограничивается:

– ассоциативность умножения, то есть если вам дано произведение трёх многочленов, например: , то перемножать их можно в любом порядке – сначала первые две скобки либо сначала две последние. И вполне хорошо, к слову, здесь работает устный алгоритм умножения.

Свойства дистрибутивности (раскрытие скобок), справа:

и слева:

Этим свойством мы тоже фактически пользовались. Оно позволяет представить произведение по своему вкусу либо потребностям, например:

и тому подобное.

Во множестве существует нейтральный относительно умножения элемент, это «единичный» многочлен . Очевидно, что

И, наконец, коммутативность умножения:
, а посему смело переставляйте множители, как вам удобно: .

Таким образом, – это коммутативное кольцо с единицей. Кольцо, но не поле, поскольку в общем случае аксиома оказывается неверной. Для многочлена степени не существует обратного многочлена: .

Вроде бы для многочлена есть «подходящая» дробь , дающая в произведении единичный элемент, но она не является многочленом по определению. В то время как элемент должен обязательно принадлежать множеству .

Но это не значит, что многочлены нельзя делить!

3.3. Деление многочленов

3.1. Сложение и умножение многочленов

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин