4.11. Некоторые полезные свойства определителей

Как и в случае с матричными операциями, у определителей насчитывается добрый десяток свойств, однако реальное прикладное значение имеют только некоторые из них. Но начать хочется с более насущного вопроса:

4.11.1. Золотое правило вычислений

– поручить вычисления товарищу или компьютеру =)

В данном пункте речь пойдёт о технике эффективного вычисления определителей, которая позволит вам находить их максимально быстро. Возможно, некоторые скажут: «ерунда, какая разница – потратим мы 2 минуты или 3?». Но это всё хорошо, если определитель не очень большой. А если «четыре на четыре»? А если «пять на пять»? Который, кстати, тоже встречается.

Сидеть 10-20 минут, а то и дольше (в случае ошибки) что-то совсем неохота. Да и зачем 2-3 минуты сидеть? Не редкость, когда процесс решения вполне реально сократить до считанных секунд, а иногда и сразу увидеть результат!

Чему и будет посвящён наш дальнейший разговор. Мотив рационального вычисления определителя встретился нам в первом же примере по теме:

Да, разложить, определитель по 1-й строке или 1-му столбцу – это привычно и академично, но 2-я строка или 2-й столбец (где есть ноль) приводят к результату заметно быстрее.

Давайте вспомним «любительскую» матрицу знаков , весь алгоритм, и разложим определитель теперь уже по 2-й строке:

Это быстрее чем, по 1-й строке? Конечно. Тем более, на практике нулевое слагаемое принято опускать:

А если в строке или столбце два нуля, то это вообще настоящий подарок:

Пример 69

Вычислить определитель матрицы

Здесь два нуля в третьей строке, по ней и раскрываем:

Вот и всё решение!

Особый случай, когда определитель имеет так называемый ступенчатый или треугольный вид, например: – в таком определителе все числа, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю.

Разложим его по первому столбцу:

В практических заданиях удобно руководствоваться следующим правилом – ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали:

Аналогичный принцип справедлив и для ступенчатых определителей других порядков, например:

Треугольные определители иногда встречаются, и их решение лучше оформлять именно так!

А если в строке (столбце) определителя находятся одни нули? Ответ, думаю, понятен. Впрочем, о нулевых определителях позже. Сейчас о другом:

Пример 70

Здесь вообще нет нулей, но всё равно существует способ облегчить себе жизнь! Данный определитель выгоднее разложить по третьему столбцу, поскольку там самые маленькие числа. И запись принимает очень приятный вид:

И, резюмируя параграф, сформулируем золотое правило вычислений:

Определитель выгодно раскрывать по ТОЙ строке (или столбцу), где:

1) нулей побольше;
2) числа поменьше (по модулю).

И чем больше порядок определителя, тем больше вес золота. Самостоятельно:

Пример 71

Вычислить определитель, используя наиболее рациональный способ

И ещё один важный совет: не комплексуйте! Не надо бояться показаться «слишком умным» и «зацикливаться» на традиционном разложении по первой строке либо первому столбцу. Как короче – так и решайте!

Этой же цели служат некоторые правила, о которых я расскажу ниже:

4.11.2. Определитель транспонированной матрицы

4.10. Матрицы с точки зрения алгебраической структуры

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин