Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

5.2. Метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы

Этот метод почётен в высшей математике, поскольку экономит время и упрощает вычисления. Сейчас всё станет понятнее:

Пример 93

Решить систему линейных уравнений:

Я взял ту же систему, что и в Примере 91.

Анализируя уравнения, замечаем, что коэффициенты при переменной одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). И это самый настоящий подарок!

В такой ситуации уравнения можно (и нужно) складывать почленно:

Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО.

Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная «игрек». В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных.

Дальнейшее просто: – подставляем найденное значение в любое уравнение системы, проще в первое уравнение:

Ну и проверочка, конечно, устная – не забываем!

Чистовое оформление примера должно выглядеть примерно так:

Решение: сложим уравнения почленно:
– подставим в 1-е уравнение системы:

Ответ:

У некоторых, возможно, возник вопрос: «Зачем все эти изыски, если можно просто выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение?».

Ответ прямо по курсу:

Пример 94

Решить систему линейных уравнений:

В этом примере можно использовать «школьный» метод, но минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас «не набита» рука на действиях с ними, то великА вероятность допустить ошибку.

Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных:

Как видим числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, я-ля 20 и 20 либо 20 и –20.

Рассмотрим коэффициенты при переменной :

и подберём такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем, оно должно быть как можно меньше. В математике сиё число называют наименьшим общим кратным. Если есть трудности с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты: , и в данном конкретном случае это и есть наименьшее общее кратное.

Первое уравнение умножим на (разделили на коэффициент при «икс») , а второе уравнение умножим на . В результате:

И вот теперь из первого уравнения почленно вычтем второе. На всякий случай ещё раз распишу действия, которые проводятся мысленно:

Как вариант, можно поступить наоборот – из второго уравнения вычесть первое, в результате будет получено равносильное уравнение с противоположными знаками.

Итак, оформляем чистовое решение:
– подставим в 1-е уравнение системы (можно во 2-е):

Устно выполняем проверку и записываем

ответ:
Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной

Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и –12.

Для этого первое уравнение умножаем на 3, а второе – на 4:

Почленно складываем уравнения и находим значения переменных:
– подставляем в 1-е уравнение:

Ответ, разумеется, такой же:

Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать.

Вроде этой мантры не было ещё:

В высшей математике всегда стремимся складывать и умножать,
а не вычитать и делить.

…Прямо какой-то жизненный принцип сформулировал, не зря в античные времена математика считалась философией…

Пример 95

Решить систему линейных уравнений:

Это пример для самостоятельного решения.

5.3. Метод Крамера

5.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин