Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

2.1.4. Тригонометрическая форма комплексного числа

До сих пор мы имели дело с алгебраической формой комплексного числа, но есть альтернатива. Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:

, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Не тушуемся, всё проще, чем кажется.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т. е. считаем, что :

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Иными словами, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: либо

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. На чертеже этот угол обозначен зелёной стрелкой.

Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или .

И из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. И эти случаи мы тоже разберём.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях:

Пример 7

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

Выполним чертёж, хотя на самом деле задание устное:

Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: , и запомним как скабрезную шутку: модуль – длина (а она всегда неотрицательна), аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчёт: . Так же очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме:
.

Ясно, как день, обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Очевидно, что модуль числа , формальный расчет по формуле: . И так же очевиден аргумент (или 90 градусов). На чертеже этот угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме:

Используя Таблицу значений тригонометрических функций (см. Приложение Тригонометрические таблицы) легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Модуль совершенно прозрачен: , формальный расчет по формуле: .

И понятно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синей дугой. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка:

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

А вот аргумент можно записать разными способами. Во-первых, напрашивается выбрать значение (270 градусов), и, соответственно: .

Проверка:

Однако более стандартно следующее правило: если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже выше этот угол отмечен зеленым цветом. Легко понять, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид:

! Причём здесь ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Задание выполнено. В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «Очевидно, что модуль равен…,Очевидно, что аргумент равен...». Ибо это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев:

Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта (перепишИте их на отдельный листок, чтобы они всегда были перед глазами):

1) если (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле ;

2) если (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле ;

3) если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Пример 8

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
, , , .

Коль скоро в нашем распоряжении есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено такое задание, то чертёж лучше в любом случае выполнить. Во-первых, для контроля правильности решения, и во-вторых его частенько требуют преподаватели. Полагаю, ручное оформление решения будет в ходу ещё долго, поэтому немного живописи:

Я представлю в тригонометрической форме числа и , первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 2), то – и вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
– число в тригонометрической форме.

Расскажу о самобытном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то непосредственно по чертежу можно измерить и угол.

Перечертите чертёж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа . Вы убедитесь, что действительно . Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно .

Представим в тригонометрической форме число . Вычислим его модуль: . И найдём аргумент. Поскольку (случай 1), то (минус 60 градусов).

Итак: – число в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Помимо забавного графического метода проверки, не забываем и о проверке аналитической, которая уже проводилась ранее. Используем Таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол (или 300 градусов): – число в исходной алгебраической форме.

Числа и представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Приложение Тригонометрические таблицы в помощь!

Краткое решение и ответы в конце книги.

2.1.5. Показательная форма комплексного числа

2.1.3. Деление комплексных чисел

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин