Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

4.13. Матричные уравнения

Начнём с детского уравнения, например, . Оно содержит математические знаки, числа и неизвестную «икс». Перенесём «тройку» в правую часть и найдём корень:

Выполним проверку – подставим найденное значение в исходное уравнение:

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Матричные уравнения устроены практически так же, только состоят они… правильно – из матриц (и конечно, числа тоже встречаются, помним, что матрицу можно умножить на число). Плюс особенные фишки, характерные для действий с матрицами. Всё просто, и особых трудностей возникнуть не должно.

Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы , которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица:

Пример 77

Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Как решить матричное уравнение? Фактически нужно использовать алгоритм решения «школьного» уравнения.

В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака:

Выполним вычитание в правой части:

и выразим , для этого обе части уравнения умножим на :

Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от «минуса». Делим каждый элемент матрицы на –2 и получаем
ответ:

Как выполнить проверку? Подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно.

Всегда ли матричное уравнение имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство, точнее, показательствоJ:

Пример, который мы прорешали, элементарен, а посему перейдём к более содержательным заданиям, которые с большой вероятностью и встретятся вам на практике. Но прежде систематизируем общий ход решения.

Алгоритм решения типового матричного уравнения

На первом шаге уравнение приводится к одному из трёх видов:
, либо , либо , где – известные матрицы.

Как привести уравнение к одному из этих видов? Все действия вы только что видели – это перенос матриц из части в часть со сменой знака, внесение множителей в матрицы, матричное сложение / вычитание.

На втором шаге нужно выразить или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно . Разберём каждый из трёх случаев:

1) . Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно , умножим обе его части на слева* (предполагаем, что обратная матрица существует):

* ! Произведение матриц не перестановочно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.

Как мы знаем, , поэтому:
и единичную матрицу можно убрать:

Чего и требовалось достичь. Обращаю внимание, что матрица нам не известна.

2) «Зеркальная» ситуация: . Умножим обе части уравнения на справа:

И ввиду того, что , получаем:

Готово. Матрица нам опять же не известна.

3) И более редкий случай . Умножим обе части уравнения на слева:

и умножим обе части на справа:

, замечательно, и я бы даже сказал, стильно.

На третьем шаге находим обратную матрицу (либо матрицы ). Если определитель матрицы равен нулю, то обратной матрицы не существует, а значит, не существует и решения матричного уравнения. И такой ответ вполне себе может быть.

На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение , либо , либо , и, собственно, получаем результат .

После выполнения задания желательно провести проверку, впрочем, в большинстве случаев она требуется по условию. Схема обыденна – нужно подставить найденную матрицу в исходное уравнение и убедиться в том, что «всё сойдётся».

Пример 78

Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Решение: предложенное уравнение имеет готовый вид , поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.
Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения. Хотя, в принципе, можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде » – без всяких пояснений и вывода формулы .

Матрицы известны, но вот обратной матрицы мы не знаем. Придётся её найти. Обратную матрицу найдем по формуле:
, где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

На финише проводим матричное умножение и получаем корень:

Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
– в результате получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Ответ:

Повысим ставки:

Пример 79

Решить матричное уравнение и сделать проверку:

Решение: неизвестная распложена справа от матрицы, и уравнение, очевидно, сведётся к виду . Используем уже знакомые из Примера 78 действия:

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на слева:

Обратную матрицу найдем по формуле , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .
– матрица алгебраических дополнений.
– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Обратная матрица:

Таким образом, получаем:

Проверка: подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, и мы счастливы. Заметьте, что после подстановки в левую часть константа «затесалась» между матрицами. В подобных ситуациях число обычно выносят вперёд, чтобы разобраться с ним после умножения.

Ответ:

Дробь лучше не вносить в столбец. Получится некрасиво. Самостоятельно:

Пример 80

Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Примерный чистовой образец оформления задачи в конце книги.

Теперь отработаем второй тип уравнения. Алгоритм решения точно такой же, с некоторыми содержательными и техническими отличиями:

Пример 81

Решить матричное уравнение, сделать проверку

Решение: незнакомец расположился слева от матрицы, поэтому уравнение сведётся к виду . Умножаем матрицы на соответствующие числа:

переносим «свободную» матрицу направо (со сменой знака, само собой):

и проводим матричное вычитание:

Для разрешения уравнения относительно умножим обе его части на справа:

Таким образом, обратная матрица:

В результате получаем:

…Геморрой, конечно, но ещё не тот, в целях проверки подставим найденное значение в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения, значит, решение найдено верно.

Ответ:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 82

Решить матричное уравнение и сделать проверку:

Краткое решение и ответ в конце книги.

И в заключение параграфа кратко остановлюсь на 3-м типе матричного уравнения: , где – известные матрицы. Встречается оно редко, и в качестве факультативного задания могу предложить простенький пример:
.

Да, работёнки здесь будет побольше. Раза в два. Как решить данное уравнение?

– для матрицы находим обратную матрицу ;
– для матрицы находим обратную матрицу ;
– перемножаем три матрицы .

Желающие могут прорешать это уравнение, верный ответ: . К слову, такая матрица называется диагональной (на главной диагонали тоже могут быть нули).

4.14. Ранг матрицы

4.12. Понижение порядка определителя

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин