6.5. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования

Рассмотрим некое линейное преобразование , заданное матрицей в некотором базисе двумерного векторного пространства. Немного поиграемся и преобразуем с помощью этого оператора какой-нибудь вектор, например :

И вроде ничего примечательного – применили преобразование к вектору и получили его образ . Обычная векторная жизнь…. Однако в обществе векторов существуют особые представители, которые обладают внутренним стержнем и не желают изменять себе в трудные минуты. Применим то же преобразование к вектору :

На последнем шаге мы вынесли константу, и что же произошло? В результате применения оператора к вектору , этот вектор птицей Феникс возродился с числовым коэффициентом :

Определение: ненулевой вектор , который при применении к нему линейного оператора отображается в самого же себя с числовым коэффициентом , называется собственным вектором данного линейного преобразования. Число называют собственным числом или собственным значением преобразования.

Поскольку каждому линейному преобразования соответствует квадратная матрица (в некотором базисе), то часто говорят о собственных значениях и собственных векторах матрицы, и в практических заданиях вам может встретиться и тот, и другой вариант.

В Википедии есть очень удачная геометрическая интерпретация, иллюстрирующий рассматриваемые понятия:

На рисунке хорошо видно, что в результате того самого перекоса плоскости все векторы поменяли направление, за исключением некоторых. А именно, сохранил направление синий и все коллинеарные ему векторы. И коль скоро так, то в качестве «представителя» достаточно выбрать любой вектор этого семейства; обычно выбирают вектор с «хорошими» координатами. Его и называют собственным вектором данного преобразования.

Более того, преобразование сохранило длину синего вектора, а также длины всех векторов этого направления. Данной ситуации соответствует масштабирующий коэффициент . Это собственное значение, которое соответствует сему вектору.

…Чего только не сказано об этой картине, и вот до неё добрались математики :)

Разумеется, собственные числа и собственные векторы могут иметь не только геометрический смысл, это зависит от той или иной прикладной задачи. Ну а в алгебре всякие смыслы минимальны, и это как преимущество, так и недостаток.

6.5.1. Как найти собственные значения и собственные векторы?

6.4.2. Матрица линейного преобразования в различных базисах

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин