Ваш репетитор, справочник и друг!

Высшая алгебра для начинающих

6.5.1. Как найти собственные значения и собственные векторы?

Только что я выставил собственный вектор «главным действующим лицом», но на самом деле это не совсем так: сначала разыскиваются собственные значения и только потом соответствующие им собственные векторы. Часто ещё говорят, что собственный вектор соответствует собственному значению .

Проведём небольшое исследование и получим алгоритм, по которому нужно решать эту задачу:

Пример 137

Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей – это матрица, для которой я уже «выдал» одно собственное значение и один собственный вектор. Давайте научимся добывать их самостоятельно!

Решение: обозначим через неизвестный собственный вектор и примЕним к нему предложенный оператор. Тогда соответствующее матричное уравнение запишется следующим образом:

В левой части по обычному правилу проведём матричное умножение, в правой части – внесём «лямбду»:

Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, получаем однородную систему линейных уравнений:
– перенесём всё налево: – после чего в первом уравнении вынесем за скобки «икс», а во втором – «игрек»:

По определению, собственный вектор не может быть нулевым , поэтому нас не устраивает тривиальное решение системы. Следовательно, уравнения линейно зависимы и определитель матрицы системы равен нулю:

Перед вами так называемое характеристическое уравнение линейного оператора. Корни этого уравнения – и есть собственные числа данного преобразования.

Сначала найдём собственные числа. Раскроем определитель и решим квадратное уравнение (см. Приложение Горячие школьные формулы):

, таким образом, собственные значения:
– их желательно нумеровать и располагать в порядке возрастания (хотя, это не принципиально).

Теперь найдём собственные векторы. В данном примере получены различные собственные числа и каждому из них соответствует свой собственный вектор:

1) Рассмотрим собственное число и подставим значение в однородную систему уравнений :

Для записи системы удобно использовать формальный приём: мысленно либо на черновике подставляем в определитель :
– это и есть коэффициенты системы.

Из обоих уравнений следует:

Если в ходе решения выяснилось, что линейной зависимости нет (т. е. получается только тривиальное решение ) – ищите ошибку! Этот признак касается всех задач рассматриваемого типа.

Итак, в нашем распоряжении есть выражение , и, придавая переменной «игрек» (либо «икс») произвольные значения, мы получаем, вообще говоря, бесконечно много собственных векторов . Но все они коллинеарны друг другу, и поэтому достаточно указать одного «представителя». Обычно стараются выбрать «красивый» вектор – чтобы его «иксовая» координата была положительной, целой и минимальной.

Этому эстетическому критерию соответствует значение , тогда:

Теперь обязательно проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы:

Таким образом: – первый собственный вектор.

2) Найдём собственный вектор, соответствующий числу . Для этого подставим его в определитель и запишем вторую однородную систему:

Из обоих уравнений системы следует, что . Придавая «игреку» или «иксу» произвольные значения, мы опять получим бесконечное множество коллинеарных друг другу векторов. Выберем «стильный» экземпляр – с положительной, целой и наименьшей иксовой координатой. Этому пожеланию соответствует значение , тогда:
– и для проверки мысленно подставляем комплект в каждое уравнение системы (см. выше).

В результате: – второй собственный вектор.

Ответ: собственные числа: , соответствующие собственные векторы:
.

Промежуточных «контрольных точек» было достаточно, но генеральная проверка не помешает: .

В чём смысл этой задачи?

Оператор, заданный матрицей (в некотором базисе), определённым образом преобразует все векторы некоторого двумерного линейного пространства. Но хотелось бы прояснить типичные особенности этого преобразования. Что и позволяют сделать найденные трофеи. А именно, данный оператор сохраняет направления векторов и иже с ними коллинеарных векторов. Заметим, что сами векторы неколлинеарны, таким образом, имеем два множества векторов – два направления, которые этот оператор сохраняет. При этом он «вытягивает» все векторы первой группы в раза, а все векторы второй группы – в раза.

И ещё один момент касается обозначений: координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками). Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать вектор-столбцы.

Тренируемся самостоятельно:

Пример 138

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

В типовой задаче, конечно, не нужно проводить целое «исследование» по образцу предыдущего примера, сразу записываем характеристический определитель – и вперёд. Примерный образец чистового оформления решения в конце книги.

6.5.2. Линейное преобразование в базисе из собственных векторов

6.5. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования

| Оглавление |

Автор: Aлeксaндр Eмeлин